Индуцированное расслоение

Индуцированное расслоение — расслоение ${\displaystyle f^{*}(\pi )\colon E'\to B'}$, индуцированное отображением ${\displaystyle f\colon B'\to B}$ и расслоением ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$, где ${\displaystyle E'}$ — подпространство прямого произведения ${\displaystyle B'\times E}$, состоящее из пар ${\displaystyle (b',e)}$, для которых ${\displaystyle f(b')=\pi (e)}$, и ${\displaystyle f^{*}(\pi )\colon (b',e)\mapsto b'}$.

При этом следующая коммутативная диаграмма образует декартов квадрат:

Свойства

• Отображение ${\displaystyle F\colon E'\to E}$ индуцированного расслоения в исходное расслоение, определённое формулой ${\displaystyle F(b',e)=e}$, является морфизмом расслоений, накрывающим ${\displaystyle f}$.
  • Для каждой точки ${\displaystyle b'\in B'}$ ограничения на слой является гомеоморфизмами.
• Для любого расслоения ${\displaystyle \eta \colon X\to B'}$ и морфизма ${\displaystyle H:\eta \to \pi }$, накрывающего ${\displaystyle f}$, существует один и только один морфизм ${\displaystyle K:\eta \to f^{*}(\pi )}$, удовлетворяющий соотношениям

  ${\displaystyle FK=H}$

  ${\displaystyle f*(\pi )K=\eta }$.

• Расслоения, индуцированные изоморфными расслоениями, изоморфны, расслоение, индуцированное постоянным отображением, изоморфно тривиальному.
• Для любого сечения ${\displaystyle s}$ расслоения ${\displaystyle \pi }$ отображение ${\displaystyle \sigma \colon B'\to E'}$, определённое формулой ${\displaystyle \sigma (b')=(b',sf(b'))}$, является сечением индуцированного расслоения ${\displaystyle f^{*}(\pi )}$ и удовлетворяет соотношению ${\displaystyle F\sigma =sf}$.

Литература

Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.