Интегральное уравнение Гаммерштейна

Интегральное уравнение Гаммерштейна — нелинейное интегральное уравнение вида: ${\displaystyle \phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)\Psi (s,\phi (s))ds+f(t)}$. Здесь ${\displaystyle K(t,s),\Psi (s,z),f(t)}$ - известные функции, ${\displaystyle \phi (t)}$ - искомая функция.^[1]

Теорема существования решения

Уравнение Гаммерштейна ${\displaystyle \phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds}$ имеет по крайней мере одно решение, если выполняются следующие условия^[2]:

1. для линейного интегрального уравнения с ядром ${\displaystyle K(t,s)}$ справедливы теоремы Фредгольма и итерированное ядро ${\displaystyle K_{2}(t,s)}$ непрерывно;
2. ядро ${\displaystyle K(t,s)}$ симметрично, то есть ${\displaystyle K(t,s)=K(s,t)}$;
3. ядро ${\displaystyle K(t,s)}$ положительно определённое, то есть все его характеристические числа положительны;
4. функция ${\displaystyle K(t,s)}$ удовлетворяет условию ${\displaystyle \mid K(t,s)\mid \leqslant C_{1}\mid z\mid +C_{2}}$, где

${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ - положительные постоянные, ${\displaystyle C_{1}<\lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{1}}$ - наименьшее характеристическое число ядра ${\displaystyle K(t,s)}$;

Теоремы единственности решения

• Уравнение Гаммерштейна ${\displaystyle \phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds}$ имеет самое большее одно решение, если для любого фиксированного ${\displaystyle s\in \left[a,b\right]}$ функция ${\displaystyle F(s,z)}$ является неубывающей функцией ${\displaystyle z}$^[2].

• Уравнение Гаммерштейна ${\displaystyle \phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds}$ имеет самое большее одно решение, если функция ${\displaystyle F(s,z)}$ равномерно удовлетворяет условию Липшица ${\displaystyle \mid F(s,z_{2})-F(s,z_{1})\mid <\alpha \mid z_{2}-z_{1}\mid }$, где ${\displaystyle 0<\alpha <\lambda _{1}}$^[2]