Метод Стёрмера — Верле

Метод Стёрмера — Верле́ — численный метод решения задачи Коши для дифференциальных уравнений. Часто используется для нахождения траектории материальной точки, движущейся по закону ${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}={\vec {a}}({\vec {x}},t)}$: для вычисления траекторий частиц в моделях молекулярной динамики и в компьютерных играх. Метод Верле более устойчив, чем более простой метод Эйлера, и имеет при этом другие качества, необходимые для моделирования физических процессов в реальном времени.

История и названия

Был использован^[1] Исааком Ньютоном в первой книге «Начал» для доказательства второго закона Кеплера.

Назван в честь французского физика Лу Верле, который использовал метод для моделирования динамики молекул, и норвежского астрофизика Карла Стёрмера.

Метод (и эквивалентные ему) называется по-разному в зависимости от области применения^[1][2]:

• метод Стёрмера, метод Энке — в астрономии;
• метод Верле — в молекулярной динамике;
• метод лягушки (англ. leapfrog)— в области уравнений в частных производных.

Основной алгоритм

Алгоритм Верле используется для вычисления следующего местоположения точки по текущему и прошлому, без использования скорости. Формула получается следующим образом. Записывается разложение в ряд Тейлора вектора ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ местоположения точки в моменты времени ${\displaystyle (t+\Delta t)}$ и ${\displaystyle (t-\Delta t)}$:

${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),}$

${\displaystyle {\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),}$

где

${\displaystyle {\vec {x}}}$ — координаты точки,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ — скорость,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ — ускорение,

${\displaystyle {\vec {b}}}$ — рывок (производная ускорения по времени).

Сложив эти 2 уравнения и выразив ${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)}$, получим

${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$

Таким образом, значение радиус-вектора точки может быть вычислено без знания скорости.

Особенности

Основная особенность алгоритма состоит в возможности накладывать на систему точек различные ограничения. Например, можно связать некоторые из них твёрдыми стержнями заданной длины. При этом алгоритм работает следующим образом:

1. Вычисляются новые положения тел (см. формулу выше).
2. Для каждой связи удовлетворяется соответствующее ограничение, то есть расстояние между точками делается таким, каким оно должно быть.
3. Шаг 2 повторяется несколько раз, тем самым все условия удовлетворяются (разрешается система условий).

Данный метод, несмотря на многократное повторение шага 2, очень эффективен.

Свойства

Метод является характерным методом геометрического численного интегрирования и обладает следующими свойствами^[2][3]:

• принадлежит классу одношаговых общих линейных методов;
• имеет 2-й порядок точности;
• является симметричным (самосопряжённым) интегратором;
• является симплектическим интегратором;
• сохраняет фазовый объём для ряда систем;
• сохраняет линейные первые интегралы систем.

Может рассматриваться как:

• метод Нюстрёма 2-го порядка;
• композиция симплектического метода Эйлера с его сопряжённым;
• расщепляющий метод для систем вида ${\displaystyle {\dot {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}})}$;
• разделённый метод Рунге—Кутты для систем ${\displaystyle {\dot {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}},{\vec {p}})}$, заданный таблицами Бутчера^[англ.]$${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$$

Применение

Популярность у разработчиков компьютерных игр метод получил в 2000 году с выходом игры Hitman: Codename 47.