Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Интерполяционные формулы

Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Remove ads

Интерполяционная формула Лагранжа

Суммиров вкратце
Перспектива

Функция может быть интерполирована на отрезке интерполяционным многочленом , записанным в форме Лагранжа[1]:

при этом ошибка интерполирования функции многочленом [2]:

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

Remove ads

Интерполяционная формула Ньютона

Суммиров вкратце
Перспектива

Если точки расположены на равных расстояниях , многочлен можно записать так[3]:

Здесь , а  — конечная разность порядка . Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Её название указывает на то, что она содержит заданные значения , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к . При интерполировании функций для значений , близких к , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов[4]:

где  — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, используя для этого разделённые разности. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы, что даёт ей преимущество в плане экономности вычислений[5].

Remove ads

Интерполяционная формула Стирлинга

Если использовать набор узлов , где , то с использованием формулы Ньютона можно получить формулу Стирлинга[6]:

Здесь , а — центральная конечная разность порядка .

Remove ads

Интерполяционная формула Бесселя

Суммиров вкратце
Перспектива

Аналогичным образом можно получить формулу Бесселя, имеющую вид[7]

Эта формула особенно удобна для интерполирования при , так как в этом случае все члены, содержащие конечные разности нечётного порядка, обращаются в ноль. Этот случай соответствует значению , то есть интерполяции «на середину»[8].

Remove ads

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads