Интерполирование с кратными узлами

Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках (узлах интерполяции) заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.

Показывается, что существует единственный многочлен ${\displaystyle \ P_{n}(x)}$ степени ${\displaystyle \ n}$, удовлетворяющий условиям:

${\displaystyle P_{n}^{(k)}(x_{i})=f_{i,k},i=1,\cdots ,m;k=0,\cdots ,n_{i}-1}$, где ${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{m}=n+1}$.

Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или многочленом Эрмита. В общем виде:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=0}^{n_{i}-1}l_{i,k}(x)f_{i,k}}$, ${\displaystyle \ m}$ — количество узлов и ${\displaystyle \ n_{i}}$ — кратность узла ${\displaystyle \ x_{i}}$.

Шарль Эрмит показал, что

${\displaystyle l_{i,k}(x)=\left[{\frac {1}{k!}}{\frac {\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{n_{j}}}{(x-x_{i})^{n_{i}}}}\right]\sum _{s=0}^{n_{i}-k-1}c_{s}^{i}(x-x_{i})^{k+s}}$, где ${\displaystyle \ c_{s}^{i}}$ — коэффициенты ряда Тейлора для функции ${\displaystyle {\frac {(x-x_{i})^{n_{i}}}{\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{n_{j}}}}=\sum _{s=0}^{\infty }c_{s}^{i}(x-x_{i})^{s}}$.

Доказательство

Частные случаи

• Если все ${\displaystyle \ n_{i}}$ равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа.
• Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с многочленом Тейлора.
• Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении кубического сплайна.

Оценка остатка интерполяции

См. также

• Интерполяционный многочлен Лагранжа
• Интерполяционный многочлен Ньютона
• Интерполяционный тригонометрический многочлен
• Интерполяция сплайнами

Литература

• Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.