Интуиционистская логика

Интуициони́стская ло́гика — формальная система, отражающая некоторые способы рассуждений, приемлемые с точки зрения интуиционизма. Предложена А. Гейтингом в 1930 году.

Основное отличие от привычного исчисления высказываний заключается в том, что отсутствует закон исключённого третьего.

Схемы аксиом 1-10 и правило «модус поненс» задают интуиционистское исчисление высказываний. Все 12 схем аксиом и все 3 правила вывода задают интуиционистское исчисление предикатов. Интуиционистское исчисление предикатов отличается от классического тем, что в последнем вместо схемы аксиом 10 используется схема аксиом ${\displaystyle (\neg \neg A)\to A}$^[1].

Логические символы

${\displaystyle \land }$ (знак конъюнкции), ${\displaystyle \lor }$ (знак дизъюнкции), ${\displaystyle \to }$ (знак импликации) и ${\displaystyle \neg }$ (знак отрицания).

Схемы аксиом

Далее через ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ обозначаются произвольные пропозициональные формулы.

1. ${\displaystyle (A\to (B\to A))}$
2. ${\displaystyle ((A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C)))}$
3. ${\displaystyle (A\to (B\to (A\land B)))}$
4. ${\displaystyle ((A\land B)\to A)}$
5. ${\displaystyle ((A\land B)\to B)}$
6. ${\displaystyle (A\to (A\lor B))}$
7. ${\displaystyle (B\to (A\lor B))}$
8. ${\displaystyle ((A\to C)\to ((B\to C)\to ((A\lor B)\to C)))}$
9. ${\displaystyle ((A\to B)\to ((A\to (\neg B))\to (\neg A)))}$
10. ${\displaystyle ((\neg A)\to (A\to B))}$
11. ${\displaystyle \forall xA(x)\to A(y)}$
12. ${\displaystyle A(y)\to \exists xA(x)}$

Правила вывода

1. Modus ponens: ${\displaystyle {\frac {A,\;(A\to B)}{B}}}$.
2. ${\displaystyle {\frac {C\to A(x)}{C\to \forall xA(x)}}}$ если ${\displaystyle x}$ не является свободной переменной в ${\displaystyle C}$.
3. ${\displaystyle {\frac {A(x)\to C}{\exists xA(x)\to C}}}$если ${\displaystyle x}$ не является свободной переменной в ${\displaystyle C}$.

См. также

• Интуиционизм
• Теорема Гливенко