Инъективная оболочка

Инъективная оболочка — конструкция в метрической геометрии, дающая наименьшее инъективное метрическое пространство, включающее данное метрическое пространство. Эта конструкция во многом аналогична конструкции выпуклой оболочки для множеств в евклидовом пространстве.

Инъективная оболочка множества точек на плоскости с метрикой городских кварталов.

Инъективная оболочка была впервые описана Джоном Исбелом в 1964 году.^[1] Позже была переоткрыта несколько раз.^[2][3]

Построение

На данном метрическом пространстве ${\displaystyle M}$ рассматриваются все функции ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ такие, что

${\displaystyle f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|}$ для любых ${\displaystyle x,y\in M}$,

для любого ${\displaystyle x\in M}$ существует ${\displaystyle y\in M}$ такое, что ${\displaystyle f(x)+f(y)-|x-y|_{M}}$ произвольно мало.

Далее множество этих функций снабжается метрикой

${\displaystyle |f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.}$

Полученное метрическое пространство ${\displaystyle W}$ называется инъективной оболочкой ${\displaystyle M}$.

Замечания

• Пространство ${\displaystyle M}$ можно рассматривать как подпространство ${\displaystyle W}$; необходимое отображение ${\displaystyle M\to W}$ получается сопоставлением каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ её дистанционной функции ${\displaystyle z\mapsto |x-z|_{M}}$.

Свойства

• Инъективная оболочка является инъективным пространством.

• Инъективная оболочка компактного пространства компактна.
  • В частности, любое компактное пространство является подпространством компактного пространства с внутренней метрикой.

• Пусть ${\displaystyle {\hat {X}}}$ и ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ — инъективные оболочки компактных метрических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Тогда

  ${\displaystyle d_{GH}({\hat {X}},{\hat {Y}})\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),}$

где ${\displaystyle d_{GH}}$ обозначает метрику Громова — Хаусдорфа.

• Константа 2 в этом неравенстве является оптимальной.^[4]

• Инъективная оболочка банахова пространства является банаховым пространством.^[5]