Квадратурный зеркальный фильтр

Квадратурный зеркальный фильтр ( англ. Quadrature Mirror Filter - QMF) – это фильтр, чья комплексная частотная характеристика представляет собой зеркальное отражение относительно ${\displaystyle \pi /2}$ комплексной частотной характеристики другого фильтра. Был изобретён C. Galand в сотрудничестве с D. Esteband и Croiser^[1]. Главной задачей фильтра является численная обработка сигналов и разложение сигнала на поддиапазоны. На выходе фильтр выдаёт изометрическое разложение сигнала на низкие и высокочастотные части.

Большая вероятность того, что любой входной сигнал может быть восстановлен на основе выходных сигналов, если фильтры находятся в парах. Высокочастотный фильтр связан с фильтром низких частот, вместе образуя Квадратурный зеркальный фильтр. Они служат зеркальным отражением друг друга.

Свойства

Используя такие понятие как:

• Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) сигнала: ${\displaystyle X(w)=\sum _{n}^{}x_{n}e^{-inw}}$
• Z-преобразование сигнала: ${\displaystyle X(z)=\sum _{n}^{}x_{n}z^{-n}}$
• Преобразование Фурье функции ${\displaystyle x(t)}$ имеет вид ${\displaystyle {\hat {x}}(w)={\frac {1}{2\Pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\!x(t)e^{-iwx}\,dt}$

${\displaystyle }$

используя эти термины, фильтр можно записать следующим образом^[2]

${\displaystyle Y(w)=H(w)X(w)}$
или
${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}$

фильтр ${\displaystyle H(z)}$ будет называться квадратурным зеркальным фильтром фильтра ${\displaystyle H(w)}$, при условии что ${\displaystyle H(z)=H(-w)}$, собственно поэтому фильтр получил такое название.

Спектр высокочастотного фильтра ${\displaystyle H(e^{iw})}$ это зеркальное отражение низко частотного фильтра со спектральной точкой перехода ${\displaystyle w={\frac {\Pi }{2}}}$ как показано на картинке^[3].

Мы хотим найти два фильтра, ${\displaystyle h}$ (подавляющий высокие частоты) и ${\displaystyle g}$ (подавляющий низкие частоты), которые позволяли бы разложить сигнал на две компоненты, ${\displaystyle X_{H}(z)}$ и ${\displaystyle X_{G}(z)}$ , вдвое их проредить (половина значений становится лишней – ведь частотный диапазон сократился вдвое!), а затем, с помощью транспонированных фильтров, точно восстановить по этим данным исходный сигнал (эту операцию можно применять рекурсивно). Условия на искомые фильтры удобно записать в терминах z-преобразования.

Пусть ${\displaystyle Y(z)}$ z-преобразование одного из компонентов. Перед кодированием он прореживается вдвое, а перед восстановлением исходного сигнала доводится до исходной длины вставкой нулей между соседними значениями. При этом z-преобразование из ${\displaystyle Y(z)}$ превращается в ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(Y(z)+Y(-z))}$. Подставим сюда фильтр упомянутый выше для каждого из фильтров, и получим z-преобразованный компонент перед восстановлением:

${\displaystyle X_{H}(z)\longrightarrow {\frac {1}{2}}(H(z)X(z)+H(-z)X(-z))}$
${\displaystyle X_{G}(z)\longrightarrow {\frac {1}{2}}(G(z)X(z)+G(-z)X(-z))}$

z-преобразования транспонированных фильтров имеют вид ${\displaystyle H(z^{-1})}$ и ${\displaystyle G(z^{-1})}$. Сигнал восстановится с их помощью точно, если:

${\displaystyle X(z)=[{\frac {1}{2}}(H(z^{-1})H(z)G(z^{-1})G(z)X(z))}$ ${\displaystyle +{\frac {1}{2}}(H(z^{-1})H(z)G(z^{-1})G(z)X(-z))]}$

Получаем условия точного восстановления (Perfect reconstruction, (англ.))

${\displaystyle H(z^{-1})H(z)+G(z^{-1})G(z)=2}$
${\displaystyle H(z^{-1})H(-z)+G(z^{-1})G(-z)=0}$

В матричной форме они записываются так:
${\displaystyle M(z)(M(z^{-1}))^{t}}$ = ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle =2E}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}H(z)&G(z)\\H(-z)&G(-z)\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

подставив ${\displaystyle z=e^{iw}}$, получим условия ДПФ искомых фильтров:

• ${\displaystyle \left\vert H(w)\right\vert ^{2}+\left\vert G(w)\right\vert ^{2}\equiv 2}$
• ${\displaystyle H(w)H(w+\Pi )+G(w)G(w+\Pi )}$

допустим, что мы нашли ${\displaystyle h}$ такой что:

• ${\displaystyle \left\vert H(w)\right\vert ^{2}+\left\vert G(w+\Pi )\right\vert ^{2}\equiv 2}$
• ${\displaystyle G(w)=-e^{iw}H(w+\Pi )}$

История создания

C. Galand был мотивирован тем, что есть возможность улучшение цифрового телефона, технология которого включает в себя передачи речевых сигналов в виде последовательностей 0 и 1. Но как заметил Galand, эти методы выходят далеко за рамки цифровой речи, так как факсимильная связь видео, базы данных, и многие другие формы информации используют телефонные линии для передачи информации. В настоящее время количество битов, которое используется для телефонной передачи составляет хорошо известные 64 килобита в секунду. Galand пытался, использовать методы кодирования для передачи речи значительно ниже этого стандарта, которые адаптированы к речевым сигналам^[1].

Применение

Квадратурный зеркальный фильтр позволяет избежать последствий сглаживания из-за прореживанья образцов, когда сигнал разделён на поддиапазоны. Каждый поддиапазон затем кодируются независимо с использованием компандирования импульсно-кодовой модуляции квантователей. Поэтому переменное число бит отводится для каждого поддиапазонного квантователя для того, чтобы воспользоваться относительного последствия ошибки квантования.

Квадратурный зеркальный фильтр широко используется в областях обработки сигналов, таких как:

• Поддиапазонное кодирование речи^[4]
• Обработка изображения^[5],
• Обработка речи^[6]
• Сжатия изображения^[7],
• Выравнивание каналов беспроводной связи, кодирование источника для аудио и видео сигналов,
• Дизайн вейвлетных базисов^[8],
• Поддиапазонное подавление эха и дискретная системы многотоновой модуляции

См. также

• Вейвлет
• Банк цифровых фильтров

Ссылки

• Леонид Левкович-Маслюк, Антон Переберин Введение в вейвлет-анализ Архивная копия от 23 апреля 2014 на Wayback Machine (рус.)
• S. K. Agrawal and O. P. Sahu, Two-Channel Quadrature Mirror Filter Bank: An Overview Архивная копия от 22 апреля 2014 на Wayback Machine (англ.)
• Amrita Khera, Mr.Sachin bandewaer, Mr. Anand kumar singh, QMF FILTER DESIGN USING FOURIER AND WAVELET TRANSFORM Архивная копия от 23 апреля 2014 на Wayback Machine (англ.)
• Suverna Sengar, Dr. Partha Pratim Bhattacharya, Design and Performance Evaluation of a Quadrature Mirror Архивная копия от 23 октября 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Jean-Pierre Renard, Henri Leich, Design of pseudo-quadrature mirror filter bank for high quality subband coding (англ.)
• Anamika Jain, Aditya Goel, Unconstrained Optimization Method to Design Two Channel Quadrature Mirror Filter Banks for Image Coding (англ.)