Псевдохарактер

Псевдохарактер — вещественнозначная функция на группе, в определённом смысле близкая к гомоморфизму.

Понятие псевдохарактера было введено в докладе А. И. Штерна на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году^[1]. Оно находит применения в комбинаторной теории групп, в теории групп диффеоморфизмов, в теории ограниченных когомологий^[англ.], в симплектической геометрии и в теории представлений групп^[2].

Определение

Функция ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} }$ на группе ${\displaystyle G}$ называется квазихарактером^[2] (или квазиморфизмом), если существует такая константа ${\displaystyle D\geq 0}$, что для любых ${\displaystyle x,y\in G}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(xy)-f(x)-f(y)|\leq D}$. Или, что то же самое,

${\displaystyle f(x)+f(y)-D\leq f(xy)\leq f(x)+f(y)+D}$.

Квазихарактер ${\displaystyle f}$ называется псевдохарактером, если он обладает свойством однородности: для любых ${\displaystyle x\in G}$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ выполняется

${\displaystyle f(x^{n})=nf(x)}$.

Или, иными словами, его ограничение на произвольную циклическую подгруппу является гомоморфизмом.

Вспомогательные определения

Дефектом квазихарактера ${\displaystyle f}$ называется супремум

${\displaystyle D_{f}:=\sup _{x,y\in G}|f(xy)-f(x)-f(y)|}$.

Дефект равен нулю тогда и только тогда, когда квазихарактер является гомоморфизмом. В этом случае квазихарактер называется характером^[3].

Два квазихарактера ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ называются асимптотически эквивалентными, если следующий супремум конечен:

${\displaystyle \|f-g\|_{\infty }:=\sup _{x\in G}|f(x)-g(x)|}$.

Например, квазихарактер асимптотически эквивалентен нулевому гомоморфизму в том и только в том случае, если он ограничен. Квазиморфизм называется тривиальным, если он асимптотически эквивалентен гомоморфизму.

Пространство псевдохарактеров

Множество всех квазихарактеров на группе ${\displaystyle G}$ обозначается символом ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$. Оно является подпространством вещественного векторного пространства всех функционалов ${\displaystyle G\to \mathbb {R} }$, рассматриваемых с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Иными словами, определяющее свойство квазихарактера сохраняется при сложении и умножении на скаляры.

Дефект является полунормой на пространстве ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$^[4]. Таким образом, данное пространство является полунормированным.

Множество всех псевдохарактеров на группе ${\displaystyle G}$ является векторным подпространством пространства ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$ и обозначается символом ${\displaystyle {\mathcal {PX}}(G)}$. Оно содержит в качестве векторного подпространства группу гомоморфизмов ${\displaystyle {\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} )}$.

Усреднение квазихарактеров

Каждый квазихарактер ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} }$ можно следующим образом превратить в псевдохарактер. Положим

${\displaystyle {\overline {f}}(x):=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x^{n})}{n}}}$.

Тогда данный предел всегда существует, а функция ${\displaystyle {\overline {f}}\colon G\to \mathbb {R} }$ является псевдохарактером, дефект которого не превосходит ${\displaystyle 4D_{f}}$, и выполняется неравенство ${\displaystyle \|f-{\overline {f}}\|_{\infty }\leq D_{f}}$^[5]. Более того, функция ${\displaystyle {\overline {f}}}$ является единственным псевдохарактером, асимптотически эквивалентным квазихарактеру ${\displaystyle f}$^[4]. Отображение ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$, ставящее в соответствие квазихарактеру связанный с ним псевдохарактер, линейно, непрерывно (относительно определённой выше полунормы), является проектором ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)\to {\mathcal {PX}}(G)}$ и называется усреднением^[4]. В частности, если квазихарактер ${\displaystyle f}$ является псевдохарактером, то ${\displaystyle {\overline {f}}=f}$.

С помощью данного проектора пространство псевдохарактеров ${\displaystyle {\mathcal {PX}}(G)}$ возможно отождествить с множеством классов асимптотической эквивалентности квазихарактеров. Или, что то же самое, с факторпространством пространства ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$ по подпространству квазихарактеров, асимптотически эквивалентных нулевому квазихарактеру (или, иными словами, по подпространству ограниченных квазихарактеров).

Пространство нетривиальных псевдохарактеров

Обозначим символами

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {X}}}(G):={\mathcal {X}}(G)/{\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} )}$

и

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {PX}}}(G):={\mathcal {PX}}(G)/{\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} ),}$

соответственно, факторпространства пространств всех квазихарактеров и всех псевдохарактеров по подпространству всех характеров. Полунорма дефекта индуцирует норму на данные пространства. Полученные нормированные пространства являются банаховыми^[6].

Свойства

Значения произвольного псевдохарактера на сопряженных элементах группы совпадают: ${\displaystyle f(yxy^{-1})=f(x)}$ для любых ${\displaystyle x,y\in G}$. Таким образом, каждый псевдохарактер является функций классов^[англ.], то есть задаёт функцию на множестве классов сопряженности группы.

Доказательство

Для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ выполняется неравенство

${\displaystyle |f(yxy^{-1})-f(x)|={\frac {|f(yx^{n}y^{-1})-f(x^{n})|}{n}}\leq {\frac {2\cdot D_{f}}{n}}}$.

Переходя к пределу ${\displaystyle n\to \infty }$, можно заключить, что число слева равно нулю.

Если элементы ${\displaystyle x,y\in G}$ коммутируют, то ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$. Таким образом, ограничение любого псевдохарактера на произвольную коммутативную подгруппу является гомоморфизмом. В частности, в случае коммутативных групп понятия псевдохарактера и гомоморфизма совпадают.

Доказательство

Для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ выполняется неравенство

${\displaystyle |f(xy)-f(x)-f(y)|={\frac {|f((xy)^{n})-f(x^{n})-f(y^{n})|}{n}}={\frac {|f(x^{n}y^{n})-f(x^{n})-f(y^{n})|}{n}}\leq {\frac {D_{f}}{n}}}$.

Переходя к пределу ${\displaystyle n\to \infty }$, можно заключить, что число слева равно нулю.

Примеры

Обозначим символом ${\displaystyle {\rm {Homeo}}_{+}(\mathbb {R} )}$ группу сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов вещественной прямой, а символом ${\displaystyle {\widetilde {\rm {Homeo}}}_{+}(S^{1})}$ — её подгруппу, состоящую из гомеоморфизмов ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle f(x+1)=f(x)+1}$ для любого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, то есть коммутирующих с единичным сдвигом ${\displaystyle x\mapsto x+1}$. Число переноса представляет собой псевдохарактер на группе ${\displaystyle {\widetilde {\rm {Homeo}}}_{+}(S^{1})}$, дефект которого не превосходит единицы^[7][8][9].

Символ Радемахера представляет собой квазихарактер на специальной линейной группе ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$. Соответствующий ему псевдохарактер называется псевдохарактером Радемахера^[10][11]. Аналогичная конструкция рассматривается на модулярной группе ${\displaystyle {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$.

Антье Деорнуа представляет собой квазихарактер с единичным дефектом на группе кос ${\displaystyle B_{n}}$. Соответствующий ему псевдохарактер называется закрученностью^[12].

Считающие квазихарактеры

Пусть ${\displaystyle F(S)}$ — свободная группа с базисом ${\displaystyle S}$. С каждым приведённым словом ${\displaystyle w\in F(S)}$ следующим образом свяжем пару квазихарактеров на ${\displaystyle F(S)}$.

Для ${\displaystyle x\in F(S)}$ положим ${\displaystyle C_{w}(x)}$ равным количеству вхождений слова ${\displaystyle w}$ в приведённое слово-представителя элемента ${\displaystyle x}$. Например, при ${\displaystyle S=\{a\}}$ имеем ${\displaystyle C_{aa}(aaaa)=3}$. Далее, положим ${\displaystyle c_{w}(x)}$ равным наибольшему значению количества непересекающихся вхождений слова ${\displaystyle w}$ в приведённое слово-представителя элемента ${\displaystyle x}$. Например, ${\displaystyle c_{aa}(aaaa)=2}$.

Определим ${\displaystyle H_{w}(x):=C_{w}(x)-C_{w^{-1}}(x)}$ и ${\displaystyle h_{w}(x):=c_{w}(x)-c_{w^{-1}}(x)}$. Функции ${\displaystyle H_{w}}$ и ${\displaystyle h_{w}}$ являются квазихарактерами на свободной группе ${\displaystyle F(S)}$ и называются, соответственно, большой считающей (от англ. big counting) и малой считающей (от англ. little counting). Большие считающие квазихарактеры были введены Робертом Бруксом^[англ.] и иногда называются функциями Брукса, а малые считающие квазихарактеры были введены Дэвидом Эпстейном^[англ.] и Кодзи Фудзиварой^{[порт.][13]}.

Например, при ${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ и ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ имеем ${\displaystyle H_{x_{i}}=h_{x_{i}}}$, причем квазихарактеры ${\displaystyle H_{x_{1}},H_{x_{2}},\ldots ,H_{x_{n}}}$ являются гомоморфизмами и порождают группу гомоморфизмов ${\displaystyle {\rm {Hom}}(F(S),\mathbb {Z} )}$^[11].

Дефект большого считающего квазихарактера ${\displaystyle H_{w}}$ не превосходит числа ${\displaystyle 3\cdot (|w|-1)}$, где символ ${\displaystyle |w|}$ обозначает количество букв в слове ${\displaystyle w}$. Данная оценка точна, как показывает пример ${\displaystyle w=abababababa}$. Однако дефект малого считающего квазихарактера ${\displaystyle h_{w}}$ всегда не превосходит трёх. Более того, он равен нулю только если ${\displaystyle |w|=1}$, равен двойке только если ${\displaystyle w}$ имеет вид ${\displaystyle w_{1}w_{2}w_{1}^{-1}}$, ${\displaystyle w_{1}w_{2}w_{1}^{-1}w_{3}}$ или ${\displaystyle w_{1}w_{2}w_{3}w_{2}^{-1}}$, а иначе равен единице^[14].