Квантовая теория рассеяния

Квантовая теория рассеяния — раздел квантовой механики, описывающий рассеяние частиц на изолированном рассеивающем центре. В простейшем случае, этот центр характеризуется потенциалом. Обычно предполагается, что потенциал стремится к нулю по мере удаления от рассеивающего центра.

Постановка задачи

Постановка задачи о квантовом рассеянии

В учебнике Ландау и Лифшица по квантовой механике^[1] задача о рассеянии ставится следующим образом.

На силовой центр падает пучок частиц с волновым вектором ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$ и плотностью ${\displaystyle N}$. Измеряется число частиц ${\displaystyle dN}$, которые попадают в детектор в единицу времени:

${\displaystyle dN=q(\theta ,\phi )Nd\Omega }$,

где ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \phi }$ сферические углы детектора в системе координат, начало которой помещено в рассеивающий центр (ось ${\displaystyle z}$ направлена вдоль вектора ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$, а ${\displaystyle d\Omega }$ — телесный угол, под которым детектор виден из начала координат. Для решения этой задачи рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\Delta +V(r)\right)\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})}$.

Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси ${\displaystyle z}$, описывается плоской волной: ${\displaystyle \psi ({\vec {r}})=\exp(i{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}})}$. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида ${\displaystyle A(\theta ,\phi ){\frac {exp(ik_{0}r)}{r}}}$, следовательно, будем искать решение уравнения Шрёдингера со следующей асимптотикой на бесконечности:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx \exp(i{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}})+A(\theta ,\phi ){\frac {\exp(ik_{0}r)}{r}}}$.

В результате решения этого уравнения мы получим амплитуду рассеяния ${\displaystyle A(\theta ,\phi )}$ и, следовательно, эффективное сечение рассеяния ${\displaystyle d\sigma =|A(\theta ,\phi )|^{2}d\Omega }$. При решении задач рассеяния в квантовой механике широко применяется метод фазовых функций.

Классическое и квантовое рассеяние

Вышеприведенная постановка задачи существенно отличается от классической теории рассеяния, где начальное условие характеризуется прицельным параметром. В квантовой механике понятие траектории теряет смысл, поэтому говорить о прицельном параметре некорректно.

Возможна формулировка задачи о рассеянии, которая допускает единую интерпретацию как в классической, так и в квантовой механике ^[2]

Обратная задача квантовой теории рассеяния

Обратная задача квантовой теории рассеяния — определение вида рассеивающего потенциала по известным характеристикам рассеяния в квантовой механике. Имеет большое практическое значение в экспериментальной физике элементарных частиц для интерпретации экспериментальных данных по рассеянию и определения различных характеристик элементарных частиц, не измеряемых непосредственно на опыте^[3]

Обратная задача квантовой теории рассеяния решена исчерпывающим образом для случев сферически симметричного потенциала ${\displaystyle V({\vec {x}})=v(r)}$, удовлетворяющего условию ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r\left|v(r)\right|dr<\infty }$, ^[4][5] а также для одномерного уравнения Шредингера^[3] и для систем уравнений с радиальными операторами^[6].

Сферически симметричный потенциал определяется по заданной для всех значений волнового вектора ${\displaystyle k}$ одной из фаз ${\displaystyle \eta _{l}(k)}$ S-матрицы ${\displaystyle S(k)=e^{-2i\eta (k)}}$. Если соответствующий радиальный оператор Шредингера ${\displaystyle H^{l}}$ имеет дискретный спектр, то потенциал определяется по фазе ${\displaystyle \eta _{l}(k)}$ неоднозначно^[4]