Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Ковариационная матрица

Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.

Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая неотрицательно определенная матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариации между компонентами.

Ковариационная матрица случайного вектора является многомерным аналогом дисперсии случайной величины для случайных векторов. Матрица ковариаций двух случайных векторов — многомерный аналог ковариации между двумя случайными величинами.

В случае нормально распределённого случайного вектора ковариационная матрица вместе с математическим ожиданием этого вектора полностью определяют его распределение (по аналогии с тем, что математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины полностью определяют её распределение)

Remove ads

Определения

Суммиров вкратце
Перспектива
  • Пусть ,  — два случайных вектора размерности и соответственно. Пусть также случайные величины имеют конечный второй момент (дисперсию), то есть . Тогда матрицей ковариации векторов называется

то есть

,

где

,
математическое ожидание.
  • Если , то называется матрицей ковариации вектора и обозначается [1]. Такая матрица ковариации является обобщением дисперсии для многомерной случайной величины, а её след — скалярным выражением дисперсии многомерной случайной величины. В связи с этим используется также обозначение — дисперсия случайного вектора. Собственные векторы и собственные числа этой матрицы позволяют оценить размеры и форму облака распределения такой случайной величины, аппроксимировав его эллипсоидом (или эллипсом в двумерном случае).
Remove ads

Свойства матриц ковариации

  • Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:
.
для любых .
  • Смена масштаба:
.
  • Если случайные векторы и некоррелированы (), то
.
,

где  — произвольная матрица размера , а .

  • Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
,
.
  • Если и независимы, то
.
Remove ads

Условная ковариационная матрица

Суммиров вкратце
Перспектива

Ковариационная матрица случайного вектора является характеристикой его распределения. В случае (многомерного) нормального распределения математическое ожидание вектора и его ковариационная матрица полностью определяют его распределение. Характеристиками условного распределения одного случайного вектора при условии заданного значения другого случайного вектора являются соответственно условное математическое ожидание (функция регрессии) и условная ковариационная матрица.

Пусть случайные векторы и имеют совместное нормальное распределение с математическими ожиданиями , ковариационными матрицами и матрицей ковариаций . Это означает, что объединенный случайный вектор подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания и ковариационной матрицей, которую можно представить в виде следующей блочной матрицы:

, где

Тогда случайный вектор при заданном значении случайного вектора имеет нормальное распределение (условное) со следующим условным математическим ожиданием и условной ковариационной матрицей:

Первое равенство определяет функцию линейной регрессии (зависимости условного математического ожидания вектора от заданного значения x случайного вектора ), причем матрица — матрица коэффициентов регрессии.

Условная ковариационная матрица представляет собой матрицу ковариаций случайных ошибок линейных регрессий компонентов вектора на вектор .

В случае если — обычная случайная величина (однокомпонентный вектор), условная ковариационная матрица — это условная дисперсия (по существу — случайной ошибки регрессии на вектор ).

Remove ads

Примечания

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads