Кодифференциал (дифференциальная геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Кодифференциал.

Кодифференциал — обратный образ ковариантных тензорных полей на дифференцируемом многообразии относительно гладкого отображения.

Гладкое отображение ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ между дифференцируемыми многообразиями определяет отображение ${\displaystyle \varphi ^{*}=(d\varphi )^{*}:T^{*}N\to T^{*}M}$ между кокасательными расслоениями ${\displaystyle T^{*}N}$ и ${\displaystyle T^{*}M}$, направленное в обратную сторону, по формуле ${\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )(X)=\omega (\varphi _{*}X)}$.

Если ${\displaystyle \varphi }$ является ${\displaystyle C^{k}}$-гладким, то ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ — ${\displaystyle C^{k-1}}$-гладко. Оно продолжается на ковариантные тензорные поля на ${\displaystyle N}$, в том числе на тензорные степени ${\displaystyle (T^{*}N)^{\otimes n}}$ и внешние степени ${\displaystyle \bigwedge ^{n}T^{*}N}$ кокасательного расслоения для любого натурального ${\displaystyle n}$. Поскольку последние являются в точности дифференциальными формами ${\displaystyle \Omega ^{n}N=\bigwedge ^{n}T^{*}N}$, получается обратный образ дифференциальных форм ${\displaystyle \varphi ^{*}:\Omega ^{n}N\to \Omega ^{n}M}$.

Кодифференциал не является обратным к дифференциалу дифференциальных форм, которое вообще задано для одного многообразия и не связано с каким-либо отображением.