Кольцо Куммера

В общей алгебре кольцо Куммера ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$ — это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид

${\displaystyle n_{0}+n_{1}\zeta +n_{2}\zeta ^{2}+...+n_{m-1}\zeta ^{m-1}\ }$

где ${\displaystyle \zeta }$ — корень степени m из единицы, то есть ${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/m}\ }$, и все ${\displaystyle n_{k}}$ целые.

Кольцо Куммера является расширением ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ кольца целых, отсюда и обозначение ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$. Поскольку минимальным многочленом для ${\displaystyle \zeta }$ является m-й круговой многочлен, кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$ является расширением степени ${\displaystyle \phi (m)}$, где ${\displaystyle \phi }$ обозначает функцию Эйлера.

Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.

Множество единиц кольца Куммера содержит ${\displaystyle \{1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{m-1}\}}$. По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка, за исключением случаев ${\displaystyle m=1,2}$ (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая ${\displaystyle m=4}$ (гауссовы целые числа) и случаев ${\displaystyle m=3,6}$ (целые числа Эйзенштейна).

Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.

См. также

• Теория Куммера
• Круговое поле

Ссылки

• Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149