Коммутативная диаграмма

Коммутативная диаграмма — наглядный способ записи тождеств, разработанный в теории категорий (в качестве визуализации диаграммы типа частичного порядка), и вошедший со второй половины XX века в употребление практически во всех разделах математики, наиболее широко — в алгебраической геометрии.

Коммутативность диаграммы означает, что композиция морфизмов вдоль любого направленного пути зависит только от начала и конца пути. Например, коммутативность следующей диаграммы:

означает, что ${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$.

В примере, иллюстрирующем первую теорему об изоморфизме, коммутативность диаграммы значит ровно то, что ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$:

Существуют различные соглашения об обозначениях, чаще всего используется следующий вариант нотации:

• ${\displaystyle \rightarrow }$ — морфизм,
• ${\displaystyle \hookrightarrow }$ — мономорфизм^[1],
• ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$ — эпиморфизм,
• ${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$ — изоморфизм.

Пунктирная стрелка обычно обозначает искомый морфизм (тогда как сплошные заданы изначально). Подразумевается, что если есть цепочка морфизмов (обозначенных сплошными линиями), соединяющие начало и конец искомого морфизма, то он существует и определяется из свойства коммутативности диаграммы.