Композиция функций

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ обычно обозначается ${\displaystyle g\circ f}$^[1][2], что обозначает применение функции ${\displaystyle g}$ к результату функции ${\displaystyle f}$, то есть ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$.

Определение

Пусть ${\displaystyle f}$ функция из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. Образ функции ${\displaystyle f}$ есть множество ${\displaystyle f[C]=\{f(x)\,|\,x\in C\,\}}$.

Пусть даны две функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\textstyle g\colon f[X]\to Z}$, где ${\displaystyle f[X]\subseteq Y}$ — образ множества ${\displaystyle X}$. Тогда их композицией называется функция ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$, определённая равенством^[3]:

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\;x\in X}$.

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент^[4]. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных^[5]. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию ${\displaystyle G}$ вида

  ${\displaystyle g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))}$,

потому что она представляет собой функцию ${\displaystyle f}$, на вход которой подаются результаты функций ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$.

Примеры композиций

• 

  Пример композиции двух функций

  Композиция функций на конечных множествах:

Пусть ${\displaystyle f=\{\,(1,1),\,(2,3),\,(3,1),\,(4,2)\,\}}$ и ${\displaystyle g=\{\,(1,2),\,(2,3),\,(3,1),\,(4,2)\,\}}$

тогда композиция ${\displaystyle g\circ f=\{\,(1,2),\,(2,1),\,(3,2),\,(4,3)\,\}}$

Свойства композиции[3]

• Композиция ассоциативна:

  ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$.

• Если ${\displaystyle f=\mathrm {id} _{X}}$ — тождественное отображение на ${\displaystyle X}$, то есть ${\displaystyle \forall x\in X}$:

  ${\displaystyle f(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x}$,

то ${\displaystyle g\circ f=g}$.

• Если ${\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}$ — тождественное отображение на ${\displaystyle Y}$, то есть ${\displaystyle \forall y\in Y}$:

  ${\displaystyle g(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y}$,

то ${\displaystyle g\circ f=f}$.

• Композиция отображений ${\displaystyle f\colon X\to X}$, ${\displaystyle g\colon X\to X}$, вообще говоря, не коммутативна, то есть ${\displaystyle f\circ g\not =g\circ f}$. Например, даны функции ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}$, ${\displaystyle g\colon x\mapsto 2x}$ — тогда ${\displaystyle g\circ f\colon x\mapsto 2x^{2}}$, однако ${\displaystyle f\circ g\colon x\mapsto 4x^{2}}$.

Дополнительные свойства

• Пусть функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ имеет в точке ${\displaystyle a}$ предел ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$, а функция ${\displaystyle g\colon f[X]\subseteq Y\to Z}$ имеет в точке ${\displaystyle b}$ предел ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}$. Тогда, если существует проколотая окрестность точки ${\displaystyle a}$, пересечение которой с множеством ${\displaystyle X}$ отображается функцией ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ в проколотую окрестность точки ${\displaystyle b}$, то в точке ${\displaystyle a}$ существует предел композиции функций ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ и выполнено равенство: ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y)}$.
• Если функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ имеет в точке ${\displaystyle a}$ предел ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$, а функция ${\displaystyle g\colon f(X)\subseteq Y\to Z}$ непрерывна в точке ${\displaystyle b}$, то в точке ${\displaystyle a}$ существует предел композиции функций ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ и выполнено равенство: ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b)}$.
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})}$ — топологические пространства. Пусть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon f[X]\subseteq Y\to Z}$ — две функции, ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, ${\displaystyle f\in C(x_{0})}$ и ${\displaystyle g\in C(y_{0})}$, где ${\displaystyle C}$ — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда ${\displaystyle g\circ f\in C(x_{0})}$.

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ и ${\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}$. Тогда ${\displaystyle g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$, и

${\displaystyle (g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})}$.