Порождающее множество группы

Порождающее множество группы — это такое её подмножество, что каждый её элемент может быть представлен в виде конечного произведения элементов из этого подмножества и их обратных. Также используются термины множество образующих^[1] и система образующих.

Одна и та же группа может иметь много разных порождающих множеств. Указание порождающего множества позволяет ввести на группе структуру графа Кэли. Кроме того, группы можно задавать, указывая порождающие множества и соотношения между ними.

Определение

Пусть ${\displaystyle S}$ — подмножество группы ${\displaystyle G}$. Подгруппой, порождённой множеством ${\displaystyle S}$, называется множество ${\displaystyle \langle S\rangle }$ всех элементов, которые могут быть представлены в виде конечного произведения элементов из ${\displaystyle S}$ и их обратных. (другими словами, в G нет хотя бы одной собственной подгруппы, содержащей S) Если ${\displaystyle S}$ пусто, то, по-определению, ${\displaystyle \langle S\rangle }$ является тривиальной подгруппой, состоящей только из нейтрального элемента.

Если ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$, то говорят, что ${\displaystyle S}$ порождает группу ${\displaystyle G}$. При этом множество ${\displaystyle S}$ называется порождающим, а его элементы — образующими или генераторами (от англ. generators) группы.

Любая группа имеет хотя бы одно порождающее множество: ${\displaystyle G=\langle G\rangle }$.

Если в группе ${\displaystyle G}$ можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой. Мощность наименьшего порождающего множества группы называется её рангом.

Например, циклические группы — это в точности группы ранга один.

Замечания

• Множество ${\displaystyle \langle S\rangle }$ совпадает с пересечением всех подгрупп группы ${\displaystyle G}$, содержащих ${\displaystyle S}$, и является наименьшей подгруппой в ${\displaystyle G}$, содержащей ${\displaystyle S}$.

• Если ${\displaystyle S}$ состоит только из одного элемента ${\displaystyle x}$, обычно пишут ${\displaystyle \langle x\rangle }$ вместо ${\displaystyle \langle \{x\}\rangle }$. В таком случае ${\displaystyle \langle x\rangle }$ — циклическая подгруппа, состоящая из всех степеней элемента ${\displaystyle x}$.

Порождающие полугруппы и моноида

Для случая, когда ${\displaystyle G}$ является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества: ${\displaystyle S}$ порождает ${\displaystyle G}$ как полугруппу или моноид, если ${\displaystyle G}$ является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим ${\displaystyle S}$.

Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что ${\displaystyle S}$ является порождающим множеством, если каждый элемент ${\displaystyle G}$ можно представить как конечное произведение элементов из ${\displaystyle S}$. Для моноида можно сказать, что ${\displaystyle S}$ является порождающим множеством, если каждый элемент ${\displaystyle G}$, кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из ${\displaystyle S}$.

Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел ${\displaystyle (\mathbb {N} _{\geq 0},+)}$ порождающим множеством будет ${\displaystyle S=\{1\}}$, но для полугруппы ${\displaystyle (\mathbb {N} _{\geq 0},+)}$ ${\displaystyle S}$ уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ как группы ${\displaystyle \{1\}}$ является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.