Конечно порождённое расширение

Коне́чно порождённое расшире́ние по́ля ${\displaystyle K}$ — расширение ${\displaystyle E}$ поля ${\displaystyle K}$, такое, что в ${\displaystyle E}$ существуют элементы ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ такие, что ${\displaystyle E=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$. Элементы ${\displaystyle E}$ суть алгебраические дроби ${\displaystyle {\frac {f(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}{g(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}}$, где ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — многочлены. Если ${\displaystyle n=1}$, то расширение ${\displaystyle K(\alpha )}$ называется простым.

Свойство конечно порождённых расширений

Если конечно порождённое расширение ${\displaystyle E=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ алгебраично над ${\displaystyle K}$, то оно конечно.

Для простого алгебраического расширения ${\displaystyle E=K(\alpha )}$ это следует из того, что множество значений многочленов от ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K[\alpha ]}$ является не только кольцом, но и полем. Действительно, пусть ${\displaystyle g(\alpha )\neq 0}$. Тогда многочлен ${\displaystyle g(x)}$ не делится на ${\displaystyle p(x)}$ — минимальный многочлен ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle K}$. Но ${\displaystyle p(x)}$ — неприводимый многочлен, значит ${\displaystyle g(x)}$ и ${\displaystyle p(x)}$ взаимно просты. Отсюда следует, что существуют такие многочлены ${\displaystyle a(x)}$ и ${\displaystyle b(x)}$ над ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle a(x)p(x)+b(x)g(x)=1}$. Подставляя в это равенство ${\displaystyle \alpha }$ имеем ${\displaystyle b(\alpha )g(\alpha )=1}$, то есть ${\displaystyle g(\alpha )}$ обратим и ${\displaystyle K[\alpha ]}$ является искомым полем ${\displaystyle K(\alpha )}$. Таким же образом деля ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle p(x)}$ получаем, что если ${\displaystyle p(x)}$ имеет степень ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle [E:K]=n}$

Для расширения от нескольких элементов имеем: ${\displaystyle K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})\ldots (\alpha _{n})}$. Элементы ${\displaystyle \alpha _{i}}$ будучи алгебраическими над ${\displaystyle K}$ остаются таковыми и над большим полем ${\displaystyle K(\alpha _{1})\ldots (\alpha _{i-1})}$. Далее применяем теорему о башне конечных расширений.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также