Коническая зубчатая передача

Коническая зубчатая передача — зубчатая передача, состоящая из двух зубчатых колёс, оси которых пересекаются. В первую очередь применяется для передачи мощности вращением под углом, при условии взаимной угловой неподвижности обоих осей в пространстве. Также может выполнять функцию механического редуктора.

ноль обозначает вершину так называемого «делительного конуса», имеющемся у любой конической передачи, независимо от формы составляющих её зубчатых колёс

Основополагающим документом, устанавливающим применяемые в науке, технике и производстве термины, определения и обозначения понятий, относящихся к геометрии и кинематике конических зубчатых передач с постоянным передаточным отношением, является действующий на 2020 год ГОСТ 19325-73^[1]. Расчёт конической зубчатой передачи — это последовательность инженерных вычислений, целью которых является проектирование надёжной и долговечной конической зубчатой передачи, удовлетворяющей заданным условиям работы. Процесс включает выбор материалов, определение допускаемых напряжений, проектирование геометрии и проверку передачи на контактную прочность и прочность при изгибе.

Последовательность расчета

1. Выбор материалов и термообработки

Для колёс и шестерён выбирают материал и вид термообработки в соответствии с рекомендациями для зубчатых передач^[2]. При этом должно соблюдаться условие: твёрдость шестерни (HB₁) должна быть не менее чем на 10—15 единиц выше твёрдости колеса (HB₂).

2. Определение допускаемых контактных напряжений

Расчёт проводится отдельно для шестерни и колеса из-за разницы в твёрдости. Допускаемое контактное напряжение определяется по формуле:

${\displaystyle [\sigma _{H}]={\frac {\sigma _{H0}}{S_{H}}}K_{HL},}$ МПа

где:

• ${\displaystyle \sigma _{H0}}$ — предел выносливости при отнулевом цикле^[2];
• ${\displaystyle S_{H}}$ — коэффициент безопасности^[2];
• ${\displaystyle K_{HL}}$ — коэффициент долговечности.

Коэффициент долговечности рассчитывается как:

${\displaystyle K_{HL}={\sqrt[{6}]{\frac {N_{HG}}{N_{HE}}}}\geq 1,\quad {\text{но}}\leq 2,4,}$

где:

• ${\displaystyle N_{HG}}$ — базовое число циклов нагружения^[2];
• ${\displaystyle N_{HE}}$ — расчётное (эквивалентное) число циклов нагружения.

Для постоянной нагрузки: ${\displaystyle N_{HE}=60\cdot c\cdot n\cdot L}$. Для переменной нагрузки: ${\displaystyle N_{HE}=60\cdot c\cdot \sum \left({\frac {T_{i}}{T_{max}}}\right)^{m/2}n_{i}L_{i}}$, где:

• ${\displaystyle n}$ — частота вращения, мин⁻¹;
• ${\displaystyle c}$ — число зацеплений зуба за один оборот;
• ${\displaystyle L}$ — расчётный срок службы в часах;
• ${\displaystyle m}$ — показатель степени (m = 6).

Если ${\displaystyle K_{HL}<1}$, принимается ${\displaystyle K_{HL}=1}$.

3. Определение допускаемых напряжений изгиба

Расчёт также проводится отдельно для шестерни и колеса.

${\displaystyle [\sigma _{F}]={\frac {\sigma _{F0}}{S_{F}}}K_{FL}K_{FC},}$ МПа

где:

• ${\displaystyle \sigma _{F0}}$ — предел выносливости зубьев по напряжениям изгиба^[2];
• ${\displaystyle S_{F}}$ — коэффициент безопасности^[2];
• ${\displaystyle K_{FL}}$ — коэффициент долговечности;
• ${\displaystyle K_{FC}}$ — коэффициент реверса (для реверсивной передачи 0,7—0,8; для нереверсивной — 1,0).

Коэффициент долговечности:

${\displaystyle K_{FL}={\sqrt[{6}]{\frac {N_{FG}}{N_{FE}}}}\geq 1,\quad {\text{но}}\leq 2,}$

где:

• ${\displaystyle N_{FG}=4\cdot 10^{6}}$ — базовое число циклов для всех сталей;
• ${\displaystyle N_{FE}}$ — расчётное число циклов нагружения, определяемое аналогично ${\displaystyle N_{HE}}$, но с показателем степени ${\displaystyle m}$.

Если ${\displaystyle K_{FL}<1}$, принимается ${\displaystyle K_{FL}=1}$.

4. Определение геометрических параметров передачи

Внешний диаметр колеса определяется по формуле:

${\displaystyle d_{e2}=2,9{\sqrt[{3}]{\frac {E_{\text{пр}}T_{2}K_{H\beta }u}{[\sigma _{H}]^{2}\nu _{H}}}},}$ мм

где:

• ${\displaystyle u}$ — передаточное число;
• ${\displaystyle T_{2}}$ — крутящий момент на валу колеса, Н·мм;
• ${\displaystyle E_{\text{пр}}=2,1\cdot 10^{5}}$ МПа — приведённый модуль упругости;
• ${\displaystyle K_{H\beta }}$ — коэффициент концентрации нагрузки^[2];
• ${\displaystyle \nu _{H}=0,85}$ — опытный коэффициент;
• ${\displaystyle [\sigma _{H}]}$ — меньшее из двух допускаемых контактных напряжений.

Далее определяются:

• Внешний диаметр шестерни: ${\displaystyle d_{e1}=d_{e2}/u}$, мм.
• Углы делительных конусов:
  • Угол колеса: ${\displaystyle \delta _{2}=\operatorname {arctg} (u)}$;
  • Угол шестерни: ${\displaystyle \delta _{1}=90^{\circ }-\delta _{2}}$.
• Внешнее конусное расстояние: ${\displaystyle R_{e}={\frac {d_{e1}}{2\sin \delta _{1}}}}$, мм.
• Рабочая ширина зубчатого венца: ${\displaystyle b=0.285R_{e}}$, мм.
• Средний диаметр шестерни: ${\displaystyle d_{m1}=d_{e2}{\frac {R_{e}-0,5b}{R_{e}u}}}$, мм.
• Внешний окружной модуль: ${\displaystyle m_{e}\geq b/10}$, мм (округляется в большую сторону по стандартному ряду^[2]).
• Число зубьев шестерни: ${\displaystyle z_{1}={\frac {d_{e1}}{m_{e}}}}$ (округляется до целого).
• Число зубьев колеса: ${\displaystyle z_{2}=z_{1}u}$ (округляется до целого).

После округления чисел зубьев уточняются геометрические размеры:

• ${\displaystyle d_{e1}=z_{1}m_{e}}$, мм
• ${\displaystyle d_{e2}=z_{2}m_{e}}$, мм
• ${\displaystyle d_{m1}=d_{e2}{\frac {R_{e}-0,5b}{R_{e}u}}}$, мм
• ${\displaystyle d_{m2}=d_{m1}u}$, мм

5. Проверочный расчёт по контактным напряжениям

${\displaystyle \sigma _{H}=1,18{\sqrt {\frac {E_{\text{пр}}T_{1}K_{H}{\sqrt {u^{2}+1}}}{\nu _{H}d_{m1}^{2}\sin(2\alpha )ub}}}\leq [\sigma _{H}]\pm 5\%,}$ МПа

где:

• ${\displaystyle T_{1}}$ — крутящий момент на валу шестерни, Н·мм;
• ${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$ — стандартный угол зацепления;
• ${\displaystyle K_{H}=K_{H\beta }K_{HV}}$ — коэффициент расчётной нагрузки;
• ${\displaystyle K_{H\beta }}$ — коэффициент неравномерности нагрузки^[2];
• ${\displaystyle K_{HV}}$ — коэффициент динамической нагрузки^[2];
• ${\displaystyle V={\frac {\pi d_{m1}n_{1}}{60\cdot 1000}}}$, м/с — окружная скорость.

Отклонение расчётного контактного напряжения от допускаемого не должно превышать ±5%, что проверяется по условию:

${\displaystyle \left|{\frac {[\sigma _{H}]-\sigma _{H}}{[\sigma _{H}]}}\right|\times 100\%\leq 5\%}$

6. Проверочный расчёт по напряжениям изгиба

${\displaystyle \sigma _{F}=Y_{F}F_{t}{\frac {K_{F}}{\nu _{F}bm_{e}}}\leq [\sigma _{F}],}$ МПа

Перед расчётом определяют отношения ${\displaystyle {\frac {[\sigma _{F}]_{1}}{Y_{F1}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {[\sigma _{F}]_{2}}{Y_{F2}}}}$. Расчёт ведётся для того элемента (шестерни или колеса), у которого это отношение меньше. В формулу подставляются соответствующие этому элементу значения ${\displaystyle Y_{F}}$ и ${\displaystyle [\sigma _{F}]}$.

где:

• ${\displaystyle Y_{F}}$ — коэффициент формы зуба^[2], определяемый по эквивалентному числу зубьев:
  • ${\displaystyle z_{v1}={\frac {z_{1}}{\cos \delta _{1}}}}$,
  • ${\displaystyle z_{v2}={\frac {z_{2}}{\cos \delta _{2}}}}$.
• ${\displaystyle K_{F}=K_{F\beta }K_{FV}}$ — коэффициент расчётной нагрузки;
  • ${\displaystyle K_{F\beta }=1+(K_{H\beta }-1)\times 1{,}5}$ — коэффициент концентрации нагрузки;
  • ${\displaystyle K_{FV}}$ — коэффициент динамической нагрузки^[2].
• ${\displaystyle F_{t}={\frac {2T_{1}}{d_{1}}}}$, Н — окружная сила (${\displaystyle T_{1}}$ в Н·мм, ${\displaystyle d_{1}}$ в мм);
• ${\displaystyle \nu _{F}=0,85}$ — опытный коэффициент.

Литература

• Иванов М.Н. Детали машин. — М.: Высшая школа, 1984.

Особенности

Для подавляющего большинства используемых конических зубчатых передач применяется эвольвентное зацепление. По сравнению с червячной передачей, также позволяющей изменить угол помимо угловой скорости и момента, коническая зубчатая передача обладает заметно более высоким механическим КПД (и не склонна к перегреву, в отличие от червячной), однако, как и цилиндрическая зубчатая передача, коническая также работает шумно, и имеет малое передаточное отношение на ступень по сравнению с червячной.

Редукторы с конической передачи чаще всего выполняются либо одноступенчатыми, либо делаются со ступенями цилиндрической передачи (цилиндро-конические редукторы), причём, чаще всего именно входной вал представляет собой вал-шестерню с конической шестернëй.