Константа Каэна

Константа Каэна — сумма знакочередующегося числового ряда, строящегося из членов ряда Сильвестра:

${\displaystyle C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots }$,

где ${\displaystyle s_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-й элемент последовательности Сильвестра. Приблизительное значение — 0,64341054629.

Названа по имени впервые исследовавшего данный ряд французского математика Эжена Каэна (фр. Eugène Cahen)^[1].

Может быть получена как сумма знакопостоянного ряда, образованного слагаемыми, обратными чётным членам последовательности Сильвестра (последовательностью приближений жадного алгоритма для египетских дробей):

${\displaystyle C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }$.

Константа трансцендентна^[2], притом является одним из немногих трансцендентных чисел, для которых известна полная цепная дробь — для последовательности 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, …^[3], определённой рекуррентным уравнением ${\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}$, цепная дробь, соответствующая константе Каэна, представляется следующим образом^[2]:

${\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}$.