Критерий Фридмана

Критерий Фридмана^[1] (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления ${\displaystyle c}$ условий измерения (${\displaystyle c\geqslant 3}$) для ${\displaystyle n}$ объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений^[2]. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Задача

Дана выборка из ${\displaystyle c}$ измерений для каждого из ${\displaystyle n}$ испытуемых, которую можно представить в виде таблицы^[2][3]:

	Условия
№ объекта	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle x_{11}}$	${\displaystyle x_{21}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{c1}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle x_{12}}$	${\displaystyle x_{22}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{c2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle x_{1n}}$	${\displaystyle x_{2n}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{cn}}$

В качестве нулевой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»^[2]. Выбирается уровень значимости ${\displaystyle \alpha }$, например, ${\displaystyle \alpha =0,01}$ (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги ${\displaystyle r_{ij}}$ объекта ${\displaystyle x_{ij}}$ при ранжировке ${\displaystyle x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj}}$^[3]:

	Ранги
№ объекта	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle r_{11}}$	${\displaystyle r_{21}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{c1}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle r_{12}}$	${\displaystyle r_{22}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{c2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle r_{1n}}$	${\displaystyle r_{2n}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{cn}}$

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}}$

${\displaystyle {\bar {R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}}$

${\displaystyle {\bar {\bar {R}}}={\frac {c+1}{2}}}$

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

${\displaystyle S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\bar {R}}})^{2}}$,

которую можно записать также в виде:

${\displaystyle S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)}$

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

${\displaystyle S<S_{\alpha }(n,c)}$

Для малых значений ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle c}$ для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$ (или доверительной вероятности^[3] ${\displaystyle 1-\alpha }$).

При ${\displaystyle n\geqslant 13}$ и ${\displaystyle c\geqslant 20}$ применима аппроксимация — ${\displaystyle \alpha }$-квантиль распределения хи-квадрат с ${\displaystyle c-1}$ степенями свободы^[3]:

${\displaystyle S_{\alpha }(n,c)\approx \chi _{\alpha }^{2}(c-1)}$

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации ${\displaystyle \alpha }$-квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта^[3].

Примеры

Классические примеры применения:

• ${\displaystyle n}$ дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
• Сварные швы, сделанные ${\displaystyle n}$ сварщиками с использованием ${\displaystyle c}$ сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ

Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984)^[4], а также Коновер (1971, 1980)^[5] для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов^[6].

Программная реализация

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R^[7] и других^[8]).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS^[9] и R^[10].