Критический граф

Критический граф — граф, в котором удаление любой вершины или ребра приводит к уменьшению хроматического числа графа.

Вверху слева вершинно критический граф с хроматическим числом 6. Остальные N-1 подграфов имеют хроматическое число 5.

Связанные определения

• ${\displaystyle k}$-критический граф — это критический граф с хроматическим числом k.
• Граф G с хроматическим числом k является вершинно k-критическим, если каждая из его вершин является критическим элементом ^[1].

Свойства

• Пусть G есть k-критический граф с n вершинами и m рёбрами. Тогда:
  • G имеет только одну компоненту.
  • G конечен (теорема де Брёйна — Эрдёша ^[2]).
  • δ(G) ≥ k − 1, то есть любая вершина смежна по меньшей мере k − 1 другим вершинам. Более строго, G рёберно (k − 1)-связен ^[3].
  • Если граф G (k − 1)-регулярен (каждая вершина смежна в точности k − 1 другим), то граф G либо является полным графом K_k, либо нечётным циклом. (Это теорема Брукса^[4]).
  • 2 m ≥ (k − 1) n + k − 3 ^[5].
  • 2 m ≥ (k − 1) n + [(k − 3)/(k² − 3)] n ^[6].
  • Либо G может быть разбит на два меньших критических графа с ребром между каждой парой вершин, где две вершины берутся из разных частей, либо граф G имеет по меньшей мере 2k — 1 вершин^[7]. Более строго, либо G имеет разложения такого типа, либо для каждой вершины v графа G существует k-раскраска, в которой v является единственной вершиной со своим цветом, а все остальные классы цветов имеют по меньшей мере две вершины^[8].

• Граф G является вершинно критическим тогда и только тогда, когда для любой вершины v существует оптимальная подходящая раскраска, в которой вершина v одна представляет класс цвета.

• 1-критических графов не существует.
• Единственный 2-критический граф — это K₂.
• Все 3-критические графы исчерпываются простыми циклами нечётной длины^[9].

• Как показал Хаджос^[10], любой k-критический граф может быть сформирован из полного графа K_k путём комбинации построения Хайоша с операцией отожествления двух несмежных вершин. Граф, образованный таким образом, всегда требует k цветов в любой правильной раскраске.

4-критический, но не рёберно-критический граф, поскольку ${\displaystyle \chi (G-x)=4}$

• Хотя каждый рёберно-критический граф обязательно является критическим, обратное неверно. Например, граф представленный справа, является 4-критическим, но не рёберно-критическим^[11].

Вариации и обобщения

• Дважды критический граф — это связный граф, в котором удаление любой пары смежных вершин уменьшает хроматическое число на два. Одна из нерешённых задач — является ли K_k единственным дважды критическим k-хроматическим графом^[12].

См. также

• Фактор-критический граф