Круги-близнецы

Круги-близнецы — это две специальные окружности, связанные с арбелосом. Арбелос определяется тремя коллинеарными точками A, B и C и является криволинейной треугольной областью между тремя полукругами, которые имеют AB, BC и AC в качестве диаметров. Если арбелос разделён на две меньшие области отрезком, проходящим через среднюю точку (точку B) и перпендикулярным прямой ABC, то каждая из двух кругов-близнецов лежит в одной из этих двух областей, касаясь двух полуокружностей и разделяющего отрезка.

Круги-близнецы (красные) арбелоса (серый)

Эти окружности появились впервые в книге Леммы, в которой показано (Предложение V), что две окружности конгруэнтны^[1]. Сабит ибн Курра, переведший книгу на арабский язык, приписал это утверждение греческому математику Архимеду. Основываясь на этом утверждении круги-близнецы и некоторые другие окружности в арбелосе, конгруэнтные кругам-близнецам, называют также окружностями Архимеда. Однако, это приписывание авторства позднее учёными было поставлено под вопрос^[2].

Построение

Анимация кругов-близнецов для различных позиций точки B на отрезке AC

Пусть ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ — три вершины арбелоса, причем точка ${\displaystyle B}$ лежит между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$. Пусть ${\displaystyle D}$ — это точка, в которой большая полуокружность пересекает перпендикуляр к отрезку ${\displaystyle AC}$, проходящий через точку ${\displaystyle B}$. Отрезок ${\displaystyle BD}$ делит арбелос на две части. Круги-близнецы это две окружности, вписанные в эти части, каждая из которых касается одной из меньших полуокружностей, отрезка ${\displaystyle BD}$ и большой полуокружности^[3].

Каждый из двух кругов однозначно определяется тремя точками касания. Их построение является частным случаем задачи Аполлония.

Были также найдены альтернативные способы построения кругов, конгруэнтных этим кругам-близнецам^[4][5]. Эти круги также называют Архимедовыми кругами. К ним относятся окружность Банкова^[англ.], окружности Шоха^?! и окружности Ву^[англ.].

Свойства

Пусть a и b будут диаметрами двух внутренних полуокружностей, так что диаметр внешней полуокружнсти будет равен ${\displaystyle a+b}$. Тогда диаметр каждого из кругов-близнецов будет равен^[3].

${\displaystyle d={\frac {ab}{a+b}}.}$

Альтернативно, если диаметр внешней полуокружности равен единице, а внутренние окружности имеют диаметры ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle 1-s}$, то диаметр каждого из близнецов равен^[3].

${\displaystyle d=s(1-s).\,}$

Наименьшая окружность, заключающая в себе оба круга-близнеца, имеет ту же площадь, что и арбелос^[3].

Смотрите также

• прямая Шоха^?!