Лемма Морса

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ — функция класса ${\displaystyle C^{r+2}}$, где ${\displaystyle r\geq 1}$ — целое число или ${\displaystyle \infty }$, имеющая точку ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ обращается в нуль, а гессиан ${\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}}$ отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle 0}$ существует такая система ${\displaystyle C^{r}}$-гладких локальных координат (карта) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ с началом в точке ${\displaystyle 0}$, что для всех ${\displaystyle x\in U}$ имеет место равенство^[1]

${\displaystyle f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}$.

Определение. Число ${\displaystyle k}$, определяемое сигнатурой квадратичной части ростка ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle 0}$, называется индексом критической точки ${\displaystyle 0}$ данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Замечание. В приведенной выше формулировке можно понизить гладкость функции ${\displaystyle f}$. Именно, то же утверждение останется верным^[2], если вместо ${\displaystyle f\in C^{r+2}}$ потребовать ${\displaystyle f\in C^{r+1}}$.

Вариации и обобщения

Теорема Тужрона

В окрестности критической точки ${\displaystyle 0}$ конечной кратности ${\displaystyle \mu }$ существует система координат, в которой гладкая функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет вид многочлена ${\displaystyle P_{\mu +1}(x)}$ степени ${\displaystyle \mu +1}$ (в качестве ${\displaystyle P_{\mu +1}(x)}$ можно взять многочлен Тейлора функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle 0}$ в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность ${\displaystyle \mu =1}$, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса^[1][3].

Лемма Морса с параметрами

Пусть ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} }$ — гладкая функция, имеющая начало координат ${\displaystyle 0}$ своей критической точкой, невырожденной по переменным ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Тогда в окрестности точки ${\displaystyle 0}$ существуют гладкие координаты, в которых

${\displaystyle f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,}$

где ${\displaystyle f_{0}}$ — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от ${\displaystyle n+m}$ переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции)^[1].

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом^[1].

О доказательствах

Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма^[4]. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера^[5].