Лемма Шуры-Буры

Лемма Шуры-Буры — принятое в научной школе П. С. Александрова название для следующего элементарного утверждения общей топологии, касающегося свойств компактных пространств:

Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество компактного пространства ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \{F_{s}\}_{s\in S}}$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства. Если ${\displaystyle \bigcap _{s\in S}F_{s}\subset U}$, то существует конечное множество ${\displaystyle \{s_{1},s_{2},\dots s_{n}\}\subset S}$, такое, что ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}F_{s_{i}}\subset U}$.

Более краткая формулировка леммы Шуры-Буры (в терминах неиндексированных семейств множеств):

Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество компактного пространства ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства, такое, что ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\subset U}$. Тогда ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}_{0}\subset U}$ для некоторого конечного подсемейства ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}}$.

Для доказательства леммы Шуры-Буры достаточно заметить, что семейство, состоящее из указанных в её формулировке множества ${\displaystyle U}$ и из дополнений элементов семейства ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, является открытым покрытием пространства ${\displaystyle X}$ и извлечь из этого покрытия конечное подпокрытие.

Свойство, указанное в лемме Шуры-Буры, на самом деле характеризует компактные пространства.^[1]

Обобщения леммы Шуры-Буры

Лемму Шуры-Буры можно обобщить на произвольные (не обязательно компактные) пространства, потребовав, чтобы рассматриваемое в ней семейство замкнутых множеств содержало хотя бы одно компактное^[2]:

Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество пространства ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — некоторое семейство замкнутых подмножеств этого пространства, хотя бы одно из которых компактно, причём ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\subset U}$. Тогда ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}_{0}\subset U}$ для некоторого конечного подсемейства ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}}$.

В предположении хаусдорфовости лемма Шуры-Буры допускает следующее существенное усиление^[3]:

Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество хаусдорфова пространства ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — некоторое семейство компактных подмножеств этого пространства, такое, что ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\subset U}$. Тогда найдутся конечное семейство ${\displaystyle \{\,F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}\,\}\subset {\mathcal {F}}}$ и конечное семейство ${\displaystyle \{\,V_{1},V_{2},\dots ,V_{n}\,\}}$ открытых в ${\displaystyle X}$ множеств, обладающие следующими свойствами:
а) ${\displaystyle F_{i}\subset V_{i}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$;
б) ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}V_{i}\subset U}$.

Лемма Шуры-Буры и компоненты связности компакта

Лемма Шуры-Буры закрепилась как отдельное утверждение с данным названием в монографиях П. С. Александрова^[4][5], где оно использовалось в качестве вспомогательного для доказательства следующей фундаментальной теоремы, принадлежащей М. Р. Шуре-Буре (1941)^[6]:

Компонента связности каждой точки хаусдорфова компактного пространства совпадает с её квазикомпонентой^[7].

Некоторые авторы называют эту последнюю теорему также «леммой Шуры-Буры»^[8]. Для случая метрических компактов она была ранее доказана Ф. Хаусдорфом (1914)^[9].