Линейное дифференциальное уравнение

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle Ly=f}$

где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция ${\displaystyle y=y(t)}$, а правая часть ${\displaystyle f=f(t)}$ — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y}$

При этом, если ${\displaystyle f(t)\equiv 0}$, то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением.

Уравнения с переменными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

${\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x)}$

Пример

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

${\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0}$

Уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид:

${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x)}$

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель:

${\displaystyle e^{\int f(x)\,dx}}$

Уравнение запишется как:

${\displaystyle y'(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},}$

В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения

${\displaystyle \left(y(x)e^{\int f(x)\,dx}\right)'=g(x)e^{\int f(x)\,dx}}$

Пример

Решение уравнения

${\displaystyle y'\left(x\right)+3y\left(x\right)=2}$

с начальными условиями

${\displaystyle y\left(0\right)=2}$

Имеем решение в общем виде

${\displaystyle y=e^{-3x}\left(\int 2e^{3x}\,dx+\kappa \right)}$

Решение неопределённого интеграла

${\displaystyle y=e^{-3x}\left(2/3e^{3x}+\kappa \right)}$

Можно упростить до

${\displaystyle y=2/3+\kappa e^{-3x}}$

где ${\displaystyle \kappa =}$ 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Что, после интегрирования обеих частей, приводит к

${\displaystyle y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C~,}$

${\displaystyle y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C}{e^{\int f(x)\,dx}}}~.}$

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x),}$

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

${\displaystyle y(x)=e^{-{\int {f(x)\,dx}}}\left(\int g(x)e^{\int {f(x)\,dx}}\,dx+C\right)}$

где ${\displaystyle C}$ является константой интегрирования.

Пример

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+by=1.}$

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер^{[неизвестный термин]} системы.

В этом случае p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

${\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left(e^{bx}/b+C\right)=1/b+Ce^{-bx}.}$

См. также

• Метод функции Грина

Уравнения с постоянными коэффициентами

Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами