Линейно-квадратичный регулятор

Линейно-квадратичный регулятор (англ. Linear quadratic regulator, LQR) — в теории управления один из видов оптимальных регуляторов, использующий квадратичный функционал качества. Задача, в которой динамическая система описывается линейными дифференциальными уравнениями, а показатель качества представляет собой квадратичный функционал, называется задачей линейно-квадратичного управления. Широкое распространение получили линейно-квадратичные регуляторы (LQR) и линейно-квадратичные гауссовы регуляторы (LQG).

Случай непрерывных систем

Для непрерывных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+B(t)u}$

с критерием оптимальности

${\displaystyle J=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x^{T}Q(t)x+u^{T}R(t)u\right)dt,}$

закон управления по отрицательной обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать указанный критерий оптимальности. Этот закон управления имеет вид

${\displaystyle u=-R^{-1}B^{T}Px,}$

где ${\displaystyle P}$ находится из решения уравнения Риккати^[1][2]

${\displaystyle A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=-{\dot {P}}.}$

Случай дискретных систем

Для дискретных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений

${\displaystyle x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}}$

с критерием оптимальности

${\displaystyle J=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}\right),}$

закон управления по отрицательной обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать критерий оптимальности

${\displaystyle u_{k}=-Fx_{k},}$

где

${\displaystyle F={\tilde {R}}^{-1}B^{T}PA,}$

${\displaystyle {\tilde {R}}=R+B^{T}PB,}$

где ${\displaystyle P}$ — решение дискретного уравнения Риккати^[3]

${\displaystyle P=Q+A^{T}\left(P-PB\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}B^{T}P\right)A.}$