Линейный конгруэнтный метод

Линейный конгруэнтный метод — один из методов генерации псевдослучайных чисел. Применяется в простых случаях и не обладает криптографической стойкостью. Входит в стандартные библиотеки различных компиляторов.

Описание

Линейный конгруэнтный метод был предложен Д. Г. Лемером на проходившем в 1949 году симпозиуме и опубликован в 1951 году в трудах симпозиума.^[1] Суть метода заключается в вычислении последовательности случайных чисел ${\displaystyle X_{n}}$, полагая

${\displaystyle X_{n+1}=(aX_{n}+c)~~{\bmod {~}}~m,}$

где ${\displaystyle m}$ — модуль (натуральное число, относительно которого вычисляет остаток от деления; ${\displaystyle m\geqslant 2}$), ${\displaystyle a}$ — множитель (${\displaystyle 0\leqslant a<m}$), ${\displaystyle c}$ — приращение (${\displaystyle 0\leqslant c<m}$), ${\displaystyle X_{0}}$ — начальное значение (${\displaystyle 0\leqslant X_{0}<m}$).

Эта последовательность называется линейной конгруэнтной последовательностью. Например, для ${\displaystyle m=10,X_{0}=a=c=7}$ получим последовательность ${\displaystyle 7,6,9,0,7,6,9,0,\dots }$^[2]

Свойства

Линейная конгруэнтная последовательность, определенная числами ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle X_{0}}$ периодична с периодом, не превышающим ${\displaystyle m}$. При этом длина периода равна ${\displaystyle m}$ тогда и только тогда, когда^[3]:

1. Числа ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle m}$ взаимно простые;
2. ${\displaystyle b=a-1}$ кратно ${\displaystyle p}$ для каждого простого ${\displaystyle p}$, являющегося делителем ${\displaystyle m}$;
3. ${\displaystyle b}$ кратно ${\displaystyle 4}$, если ${\displaystyle m}$ кратно ${\displaystyle 4}$.

Наличие этого свойства для случая ${\displaystyle m=2^{e}}$, где ${\displaystyle e}$ — число битов в машинном слове, было доказано М. Гринбергом (англ. M. Greenberg).^[4] Наличие этого свойства для общего случая и достаточность условий были доказаны Т. Е. Халлом (англ. T. E. Hull) и А. Р. Добеллом (англ. A. R. Dobell).^[5]

Метод генерации линейной конгруэнтной последовательности при ${\displaystyle c=0}$ называют мультипликативным конгруэнтным методом, а при ${\displaystyle c\neq 0}$ — смешанным конгруэнтным методом. При ${\displaystyle c=0}$ генерируемые числа будут иметь меньший период, чем при ${\displaystyle c\neq 0}$, но при определенных условиях можно получить период длиной ${\displaystyle m-1}$, если ${\displaystyle m}$ — простое число. Тот факт, что условие ${\displaystyle c\neq 0}$ может приводить к появлению более длинных периодов, был установлен В. Е. Томсоном (англ. W. T. Thomson) и независимо от него А. Ротенбергом (англ. A. Rotenberg).^[2] Чтобы гарантировать максимальность цикла повторения последовательности при ${\displaystyle c=0}$, необходимо в качестве значения параметра ${\displaystyle m}$ выбирать простое число. Самым известным генератором подобного рода является так называемый минимальный стандартный генератор случайных чисел, предложенный Стивеном Парком (англ. Stephen Park) и Кейтом Миллером (англ. Keith Miller) в 1988 году. Для него ${\displaystyle a=16807}$, а ${\displaystyle m=2147483647}$.^[6][7]

Наиболее часто практикуемым методом генерации последовательностей псевдослучайных чисел является смешанный конгруэнтный метод.^{[источник не указан 2925 дней]}

Часто используемые параметры

При выборе числа ${\displaystyle m}$ необходимо учитывать следующие условия:

1) число ${\displaystyle m}$ должно быть довольно большим, так как период не может иметь больше ${\displaystyle m}$ элементов;

2) значение числа ${\displaystyle m}$ должно быть таким, чтобы ${\displaystyle (aX_{n}+c)\mod m}$ вычислялось быстро.

На практике при реализации метода исходя из указанных условий чаще всего выбирают ${\displaystyle m=2^{e}}$, где ${\displaystyle e}$ — число битов в машинном слове. При этом стоит учитывать, что младшие двоичные разряды сгенерированных таким образом случайных чисел демонстрируют поведение, далёкое от случайного, поэтому рекомендуется использовать только старшие разряды. Подобная ситуация не возникает, когда ${\displaystyle m=w\pm 1}$, где ${\displaystyle w}$ — длина машинного слова. В таком случае младшие разряды ${\displaystyle X_{n}}$ ведут себя так же случайно, как и старшие.^[2] Выбор множителя ${\displaystyle a}$ и приращения ${\displaystyle c}$ в основном обусловлен необходимостью выполнения условия достижения периода максимальной длины.

Таблица хороших констант для линейных конгруэнтных генераторов

Все приведенные константы обеспечивают работу генератора с максимальным периодом. Таблица упорядочена по максимальному произведению, которое не вызывает переполнение в слове указанной длины.^[8]

Переполняется при	a	c	m
220	106	1283	6075
221	211	1663	7875
222	421	1663	7875
223	430	2531	11979
223	936	1399	6655
223	1366	1283	6075
224	171	11213	53125
224	859	2531	11979
224	419	6173	29282
224	967	3041	14406
225	141	28411	134456
225	625	6571	31104
225	1541	2957	14000
225	1741	2731	12960
225	1291	4621	21870
225	205	29573	139968
226	421	17117	81000
226	1255	6173	29282
226	281	28411	134456
227	1093	18257	86436
227	421	54773	259200
227	1021	24631	116640
228	1277	24749	117128
228	2041	25673	121500
229	2311	25367	120050
229	1597	51749	244944
229	2661	36979	175000
229	4081	25673	121500
229	3661	30809	145800
230	3877	29573	139968
230	3613	45289	214326
230	1366	150889	714025
231	8121	28411	134456
231	4561	51349	243000
231	7141	54773	259200
232	9301	49297	233280
232	4096	150889	714025
233	2416	374441	1771875
234	17221	107839	510300
234	36261	66037	312500
235	84589	45989	217728

Печально известен «неудачный» (с точки зрения качества выходной последовательности) алгоритм RANDU, на протяжении многих десятилетий использовавшийся в самых разных компиляторах.

Для улучшения статистических свойств числовой последовательности во многих генераторах псевдослучайных чисел используется только часть битов результата. Например, в стандарте ISO/IEC 9899 на язык Си приведен (но не указан в качестве обязательного) пример функции rand(), принудительно отбрасывающей младшие 16 и один старший разряд.

#define RAND_MAX 32767 

static unsigned long int next = 1;

int rand(void)
{
  next = next * 1103515245 + 12345;
  return (unsigned int)(next/65536) % (RAND_MAX + 1);
}

void srand(unsigned int seed)
{
  next = seed;
}

Именно в таком виде функция rand() используется в компиляторах Watcom C/C++. Известны числовые параметры иных алгоритмов, применяемых в различных компиляторах и библиотеках.

Source	m	множитель a	слагаемое c	используемые биты
Numerical Recipes[9]	232	1664525	1013904223
Borland C/C++	232	22695477	1	bits 30..16 in rand(), 30..0 in lrand()
glibc (used by GCC)[10]	231	1103515245	12345	bits 30..0
ANSI C: Watcom, Digital Mars, CodeWarrior, IBM VisualAge C/C++[11]	231	1103515245	12345	bits 30..16
C99, C11: Suggestion in the ISO/IEC 9899[12]	232	1103515245	12345	bits 30..16
Borland Delphi, Virtual Pascal	232	134775813	1	bits 63..32 of (seed * L)
Microsoft Visual/Quick C/C++	232	214013 (343FD16)	2531011 (269EC316)	bits 30..16
Microsoft Visual Basic (6 and earlier)[13]	224	1140671485 (43FD43FD16)	12820163 (C39EC316)
RtlUniform from Native API[14]	231 − 1	2147483629 (7FFFFFED16)	2147483587 (7FFFFFC316)
Apple CarbonLib, C++11's minstd_rand0[15]	231 − 1	16807	0	see MINSTD
C++11's minstd_rand[15]	231 − 1	48271	0	see MINSTD
MMIX by Donald Knuth	264	6364136223846793005	1442695040888963407
Newlib	264	6364136223846793005	1	bits 63…32
VAX's MTH$RANDOM,[16] old versions of glibc	232	69069	1
Java	248	25214903917	11	bits 47…16
Ранее во многих компиляторах:
RANDU	231	65539	0

Возможность использования в криптографии

Хотя линейный конгруэнтный метод порождает статистически хорошую псевдослучайную последовательность чисел, он не является криптографически стойким. Генераторы на основе линейного конгруэнтного метода являются предсказуемыми, поэтому их нельзя использовать в криптографии. Впервые генераторы на основе линейного конгруэнтного метода были взломаны Джимом Ридсом (Jim Reeds), а затем Джоан Бойяр. Ей удалось также вскрыть квадратические и кубические генераторы. Другие исследователи расширили идеи Бояр, разработав способы вскрытия любого полиномиального генератора. Таким образом, была доказана бесполезность генераторов на основе конгруэнтных методов для криптографии. Однако генераторы на основе линейного конгруэнтного метода сохраняют свою полезность для некриптографических приложений, например, для моделирования. Они эффективны и в большинстве используемых эмпирических тестов демонстрируют хорошие статистические характеристики^[8].

См. также

• Генератор псевдослучайных чисел
• Инверсный конгруэнтный метод