Логарифмический признак сходимости

Логарифмический признак сходимости — признак сходимости числовых рядов с положительными членами.

Фактически этот признак сходимости сводится к сравнению исследуемого на сходимость ряда с обобщённым гармоническим рядом (рядом Дирихле)

Формулировка

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ с положительными членами ${\displaystyle a_{n}>0}$ сходится, если существует ${\displaystyle N}$ такое, что для всякого ${\displaystyle n\geqslant N}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle L_{n}={\frac {\ln {\frac {1}{a_{n}}}}{\ln n}}\geqslant 1+\delta ,}$

где ${\displaystyle \delta >0}$ не зависит от ${\displaystyle n}$.

Если же ${\displaystyle \exists N\colon \forall n\geqslant N\quad L_{n}\leqslant 1-\delta }$, где ${\displaystyle \delta >0}$, то ряд расходится.

А если же ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }L_{n}=1}$, то ничего определенного о сходимости или расходимости сказать нельзя^[1].

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }L_{n}}$

то при ${\displaystyle L>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle L<1}$ — расходится.