Мажорирование множеств

Мажорирование — математический термин из теории множеств.

Определение

Пусть ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},Y=\{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\}}$, где ${\displaystyle x_{1}\geqslant x_{2}\geqslant \ldots \geqslant x_{n},y_{1}\geqslant y_{2}\geqslant \ldots \geqslant y_{n}}$.

Говорят, что множество ${\displaystyle X}$ мажори́рует множество ${\displaystyle Y}$ (обозначается ${\displaystyle X\succ Y}$), если верно следующее:

для любого ${\displaystyle k=1\ldots n-1}$ , ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}\geqslant \sum _{i=1}^{k}y_{i}}$; и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$

Если последнее равенство заменить менее сильным условием ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\geqslant \sum _{i=1}^{n}y_{i}}$, то ${\displaystyle X}$ нестрого мажорирует ${\displaystyle Y}$.

Мажоризацию можно обобщить на случай неупорядоченных наборов чисел. Множество ${\displaystyle X}$ мажорирует множество ${\displaystyle Y}$, если невозрастающая перестановка ${\displaystyle X}$ мажорирует невозрастающую перестановку ${\displaystyle Y}$.

Примеры

${\displaystyle \{8,7,1\}\succ \{6,5,5\}}$, так как ${\displaystyle 8\geqslant 6,\ 8+7\geqslant 6+5,\ 8+7+1=6+5+5}$

${\displaystyle \{3,2\}\succ \{3,2\}}$, так как ${\displaystyle 3\geqslant 3,\ 3+2=3+2}$

Вообще, для любых ${\displaystyle x_{1}\geqslant x_{2}\geqslant \ldots \geqslant x_{n}}$ выполняется следующее:

${\displaystyle \{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n},\underbrace {0,0,\ldots ,0} _{n-1}\}\succ \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\succ \{\underbrace {{\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}},{\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}},\ldots$ ;{\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}} _{n}\}}

Неравенство Мюрхеда

Основная статья: Неравенство Мюрхеда

Пусть ${\displaystyle F_{1}}$ — симметризация одночлена ${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$, ${\displaystyle F_{2}}$ — симметризация одночлена ${\displaystyle x_{1}^{\beta _{1}}\ldots x_{n}^{\beta _{n}}}$. Если ${\displaystyle \{\alpha _{1};\ldots$ ;\alpha _{n}\}\succ \{\beta _{1};\ldots ;\beta _{n}\}} , то при всех неотрицательных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle F_{1}(\alpha _{1},\ldots \alpha _{n})\geqslant F_{2}(\beta _{1},\ldots \beta _{n})}$.