Метод k ближайших соседей

Метод ${\displaystyle k}$ ближайших соседей (англ. k-nearest neighbors algorithm, k-NN) — метрический алгоритм для автоматической классификации объектов или регрессии.

Пример классификации методом ${\displaystyle k}$ ближайших соседей: тестовый образец (зелёный круг) должен быть классифицирован как синий квадрат (класс 1) или как красный треугольник (класс 2); если ${\displaystyle k=3}$, то он классифицируется как 2-й класс, потому что внутри меньшего круга 2 треугольника и только 1 квадрат; если ${\displaystyle k=5}$, то он будет классифицирован как 1-й класс (3 квадрата против 2 треугольников внутри большего круга)

В случае использования метода для классификации объект присваивается тому классу, который является наиболее распространённым среди ${\displaystyle k}$ соседей данного элемента, классы которых уже известны. В случае использования метода для регрессии, объекту присваивается среднее значение по ${\displaystyle k}$ ближайшим к нему объектам, значения которых уже известны.

Алгоритм может быть применим к выборкам с большим количеством атрибутов (многомерным). Для этого перед применением нужно определить функцию расстояния; классический вариант такой функции — евклидова метрика^[1][2].

Нормализация

Разные атрибуты могут иметь разный диапазон представленных значений в выборке (например атрибут А представлен в диапазоне от 0,1 до 0,5, а атрибут Б представлен в диапазоне от 1000 до 5000), то значения дистанции могут сильно зависеть от атрибутов с бо́льшими диапазонами. Поэтому данные обычно подлежат нормализации. При кластерном анализе есть два основных способа нормализации данных: минимакс-нормализация и Z-нормализация.

Минимакс-нормализация осуществляется следующим образом:

${\displaystyle x'=(x-\min[X])/(\max[X]-\min[X])}$,

в этом случае все значения будут лежать в диапазоне от 0 до 1; дискретные бинарные значения определяются как 0 и 1.

Z-нормализация:

${\displaystyle x'=(x-M[X])/\sigma [X]}$,

где ${\displaystyle \sigma }$ — среднеквадратичное отклонение; в этом случае большинство значений попадёт в диапазон ${\displaystyle (-3\sigma ;3\sigma )}$.

Выделение значимых атрибутов

Некоторые значимые атрибуты могут быть важнее остальных, поэтому для каждого атрибута может быть задан в соответствие определённый вес (например вычисленный с помощью тестовой выборки и оптимизации ошибки отклонения). Таким образом, каждому атрибуту ${\displaystyle k}$ будет задан в соответствие вес ${\displaystyle z_{k}}$, так что значение атрибута будет попадать в диапазон ${\displaystyle [0;z_{k}\max(k)]}$ (для нормализованных значений по минимакс-методу). Например, если атрибуту присвоен вес 2,7, то его нормализованно-взвешенное значение будет лежать в диапазоне ${\displaystyle [0;2{,}7].}$

Взвешенный способ

При взвешенном способе во внимание принимается не только количество попавших в область определённых классов, но и их удалённость от нового значения.

Для каждого класса ${\displaystyle j}$ определяется оценка близости:

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{d(x,a_{i})^{2}}}}$,

где ${\displaystyle d(x,a_{i})}$ — расстояние от нового значения ${\displaystyle x}$ до объекта ${\displaystyle a_{i}}$.

У какого класса выше значение близости, тот класс и присваивается новому объекту.

С помощью метода можно вычислять значение одного из атрибутов классифицируемого объекта на основании дистанций от попавших в область объектов и соответствующих значений этого же атрибута у объектов:

${\displaystyle x_{k}={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}d(x,a_{i})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}d(x,a_{i})^{2}}}}$,

где ${\displaystyle a_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-й объект, попавший в область, ${\displaystyle k_{i}}$ — значение атрибута ${\displaystyle k}$ у заданного объекта ${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle x}$ — новый объект, ${\displaystyle x_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-й атрибут нового объекта.