Минор (линейная алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Минор (значения).

Минор в линейной алгебре — определитель некоторой меньшей квадратной матрицы ${\displaystyle B}$, вырезанной из заданной матрицы ${\displaystyle A}$ путём удаления одной или нескольких её строк и столбцов. Порядок матрицы ${\displaystyle B}$ называется порядком этого минора. Если на диагонали матрицы ${\displaystyle B}$ расположены только диагональные элементы матрицы ${\displaystyle A}$, то минор называется главным.

Дополнительный минор элемента матрицы ${\displaystyle n}$-го порядка есть определитель порядка ${\displaystyle n-1}$, соответствующий матрице, которая получается из матрицы путём вычёркивания ${\displaystyle i}$-й строки и ${\displaystyle j}$-го столбца. Например, для матрицы:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}}$

дополнительный минор второго порядка ${\displaystyle {\bar {M}}_{3}^{2}}$ получается путём вычёркивания второй строки и третьего столбца:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}}$ ${\displaystyle \longrightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=1\cdot 9-4\cdot (-1)=13}$

Определитель ${\displaystyle n\times n}$-матрицы ${\displaystyle M=(a_{ij})}$ может быть определён через дополнительные миноры к элементам:

${\displaystyle |M|=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}}$,

где ${\displaystyle {\bar {M}}_{j}^{1}}$ — дополнительный минор к элементу ${\displaystyle \ a_{1j}}$.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Литература

• В. Н. Ремесленников. Минор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — Стб. 703—704. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Minor  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Корн Г. А., Корн Т. М. 1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения // Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 35—36.