Модель Кокса-Ингерсола-Росса

Модель Кокса-Ингерсола-Росса (CIR-модель, модель квадратного корня) - стохастическая модель динамики краткосрочной ставки с возвратом к среднему уровню (по аналогии с моделью Васичека), а также с зависимостью волатильности ставки от уровня ставки (точнее от ее квадратного корня).

Зависимость стохастической компоненты от квадратного корня уровня ставки приводит к том, что распределение процентной ставки не является нормальным (как для модели Васичека), а является процессом с нецентральным хи-квадрат распределением.

Модель квадратного корня нередко применяется при моделировании не только процентных ставок, но и других случайных процессов.

Математическая модель

Модель в форме стохастического дифференциального уравнения имеет вид:

${\displaystyle dr_{t}=k(\theta -r_{t})dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}dW_{t}}$, где ${\displaystyle k\theta >=\sigma ^{2}}$

Математическое ожидание и дисперсия процесса равны

${\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-kt}+\theta (1-e^{-kt})}$, поэтому долгосрочная средняя величина ставки равна ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{k}}(e^{-kt}-e^{-2kt})+{\frac {\theta \sigma ^{2}}{2k}}(1-e^{-kt})^{2}}$, поэтому долгосрочная дисперсия ставки равна ${\displaystyle {\frac {\theta \sigma ^{2}}{2k}}}$

Кривая доходности

Предполагая, что процесс CIR задан в риск-нейтральной мере можно показать, что стоимость дисконтной облигации при таком процессе должна быть равна

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}}$

где ${\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2he^{(k+h)(T-t)/2}}{2h+(k+h)(e^{h(T-t)}-1)}}\right)^{2k\theta /\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle B(t,T)={\frac {2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(k+h)(e^{h(T-t)}-1)}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {k^{2}+2\sigma ^{2}}}}$

Можно показать, что для достаточно больших срочностей (формально - на бесконечном сроке) кривая доходности не зависит от текущей спот-ставки и зафиксирована на уровне:

${\displaystyle r(t,{\infty })=\theta {2k \over k+h}=\theta {2 \over 1+{\sqrt {1+2(\sigma /k)^{2}}}}}$

То есть спот-ставки на достаточно длинные ставки немного ниже среднего уровня краткосрочной ставки. Они совпадают лишь в предельных случаях нулевой волатильности или бесконечно большой скорости возврата к среднему уровню.

Безарбитражная модель CIR

Модель без дополнительных ограничений на параметры не является безарбитражной. Ограничение на параметры модели, приводящее к ее безарбитражности (согласно HJM-подходу) носит сложный характер для данной модели.

Связанные понятия

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Васичека
• Модель Халла-Уайта