Диаграмма Хассе

Диаграмма Ха́ссе — вид диаграмм, используемый для представления (обычно конечного) частично упорядоченного множества в виде рисунка его транзитивного сокращения. Конкретно, для частично упорядоченного множества ${\displaystyle (S,\leq )}$ диаграмма представляет каждый элемент ${\displaystyle S}$ как вершины на плоскости и отрезки или кривые, идущие вверх от элемента ${\displaystyle x}$ к элементу ${\displaystyle y}$, если ${\displaystyle x\leq y}$ и не существует элемента ${\displaystyle z}$, для которого ${\displaystyle x<z<y}$. Эти кривые могут пересекаться, но не должны проходить через вершины, если только они не являются концами линии. Такая диаграмма с помеченными вершинами однозначно определяют частичный порядок.

Диаграмма Хассе решётки ${\displaystyle L=\{0,\,a,\,b,\,1\}}$

Диаграммы «бесконечных» решёток всегда наделяются комментариями при их описании^[1].

На диаграмме Хассе наглядно видна структура частично упорядоченного множества, а также все связи между его элементами: хорошо просматриваются максимальные и минимальные элементы, ясно представлена каждая цепь, соединяющая два данных элемента, и так далее. Один элемент меньше другого тогда и только тогда, когда на диаграмме Хассе между ними существует восходящая ломаная^[2].

Впервые систематически такого рода визуализация описана Биркгофом в 1948 году^[3], им же дано название в честь использовавшего подобные диаграммы Хельмута Хассе, однако такого рода рисунки встречаются и в более ранних трудах, например, в учебнике французского математика Анри Фохта (нем. Henri Vogt) 1895 года издания^[4].

Удобство диаграмм

Хотя диаграммы Хассе является простым и интуитивно ясным средством для работы с конечным частично упорядоченным множеством, весьма сложно нарисовать «хорошую», удобную для визуального восприятия диаграмму для достаточно нетривиального множества из-за большого количества возможных вариантов отображения. Простая техника, предполагающая начать с минимальных элементов и рисовать вышележащие элементы последовательно часто дает плохие результаты — симметрии и внутренние структуры легко потерять.

Например, множество всех подмножеств множества из четырёх элементов, упорядоченного операцией включения ${\displaystyle \subseteq }$, может быть представлен любой из четырёх нижеприведённых диаграмм (каждое подмножество снабжено меткой с бинарной кодировкой, показывающей, содержится соответствующий элемент в подмножестве — 1, или нет — 0):

Структура уровней	Четырёхмерный куб
Внутренняя симметрия	Матрица ${\displaystyle 4\times 4}$

Первая диаграмма демонстрирует структуру уровней. Вторая диаграмма имеет ту же структуру уровней, но на ней некоторые рёбра удлинены, чтобы подчеркнуть, что четырёхмерный куб является объединением двух трёхмерных. Третья диаграмма показывает некоторую внутреннюю симметрию. В четвёртой диаграмме вершины упорядочены подобно матрице ${\displaystyle 4\times 4}$.

Планарность

Диаграмма Хассе подгрупповой решётки диэдрической группы ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}}$ не имеет пересекающихся рёбер.

Плоская диаграмма Хассе — диаграмма без пересечения линий^[1].

Оптимальная диаграмма Хассе — диаграмма, имеющая минимальное количество пересекающихся пар линий^[1].

Некоторые свойства частичных порядков относительно планарности их диаграммы Хассе.

• Если частичный порядок является решёткой, то его можно нарисовать без пересечений тогда и только тогда, когда размерность порядка не менее двух^[5][6].
• Если частичный порядок имеет по меньшей мере один минимальный или максимальный элемент, то можно за линейное время проверить, существует ли диаграмма без пересечений^[7].
• Определить, можно ли частичный порядок представить планарной диаграммой Хассе, в общем случае — NP-полная задача^[8].
• Если заданы ${\displaystyle y}$-координаты элементов частичного порядка, то за линейное время может быть найдена его диаграмма Хассе, сохраняющая заданные координаты, если только такая диаграмма существует^[9]. В частности, если частный порядок имеет уровни, можно за линейное время определить, имеется ли диаграмма Хассе без пересечений, у которой высота каждой вершины пропорциональна её рангу.

Модифицированная диаграмма Хассе

Модифицированная диаграмма Хассе решётки ${\displaystyle L=\{0,\,a,\,b,\,1\}}$

Диаграмма Хассе не является графом, потому на диаграмме что имеется фиксация уровня элементов в частично упорядоченном множестве^[2].

Модифицированная диаграмма Хассе — ориентированный граф, который получается из диаграммы Хассе ориентацией её отрезков в направлении от меньшего элемента к большему^[2].

Модифицированная диаграмма Хассе не только показывает все данные исходной диаграммы, но и представляет собой граф, дающий новые возможности для исследования особенностей представляемого частично упорядоченного множества^[10].