Модифицированное Z-преобразование

Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как:

${\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}$

где

• T — период дискретизации
• m («параметр смещения») — часть периода дискретизации ${\displaystyle [0,T).}$

Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.

Свойства

Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.

Линейность

${\displaystyle Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m).}$

Сдвиг по времени

${\displaystyle Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).}$

Ослабление

${\displaystyle Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}$

Умножение аргумента

${\displaystyle Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}$

Теорема о конечном значении

${\displaystyle \lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).}$

Таблица основных преобразований

f(t)	F(z, m)
1(t)	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$
t	${\displaystyle {\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}}$
e-at	${\displaystyle {\frac {ze^{-amT}}{z-e^{-aT}}}}$
1 — e-at	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{z-e^{-aT}}}}$
sin ωt	${\displaystyle {\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}}$

Пример

Пусть оригинал для преобразования ${\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}$. Тогда:

${\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]}$

${\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]}$

${\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT)\right]}$

${\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}$

${\displaystyle F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.}$

Если ${\displaystyle m=0}$, то ${\displaystyle F(z,m)}$ совпадает с Z-преобразованием:

${\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}$