Аддитивная энергия

Аддитивная энергия — численная характеристика подмножества группы, иллюстрирующая структурированность множества относительно групповой операции. Термин введён Теренсом Тао и Ван Ву^[1].

Определение

Пусть ${\displaystyle (G,+)}$ — группа.

Аддитивная энергия множеств ${\displaystyle A\subset G}$ и ${\displaystyle B\subset G}$ обозначается как ${\displaystyle E_{+}(A,B)}$ и равна^[2] количеству решений следующего уравнения:

${\displaystyle a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)}$

Аналогично можно определить мультипликативную энергию (например. в кольце) как количество ${\displaystyle E_{\times }(A,B)}$ решений уравнения:

${\displaystyle a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)}$

Экстремальные значения

Своего наименьшего значения ${\displaystyle E_{+}(A,B)}$ достигает, когда все суммы ${\displaystyle a+b\ (a\in A,b\in B)}$ различны (т.к., тогда уравнение выполняется только при ${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}}$) — например, когда ${\displaystyle A=B}$ и ${\displaystyle A}$ — множество различных образующих группы ${\displaystyle G}$ из какого-то минимального порождающего множества. Тогда ${\displaystyle E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2}}}$

Наибольшее значение ${\displaystyle E_{+}(A,B)}$ достигается, когда ${\displaystyle A=B}$ и ${\displaystyle A}$ является подгруппой ${\displaystyle G}$. В этом случае для любого ${\displaystyle x\in A}$ число решений уравнения ${\displaystyle a+b=x\ (a,b\in A)}$ равно ${\displaystyle |A|}$, так что ${\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3}}$

Соответственно, промежуточные величины порядка роста ${\displaystyle E_{+}(A,A)}$ между ${\displaystyle |A|^{2}}$ и ${\displaystyle |A|^{3}}$ можно рассматривать как больший или меньший показатель близости структуры ${\displaystyle A}$ к структуре подгруппы. Для некоторых групп ${\displaystyle G}$ определённые ограничения на аддитивную энергию позволяет доказывать структурные теоремы о существовании достаточно больших подгрупп ${\displaystyle G}$ внутри ${\displaystyle A}$ (или какого-то производного от него множества) и о вложимости ${\displaystyle A}$ (или какого-то производного от него множества) в достаточно маленькие подгруппы ${\displaystyle G}$.^[3] Ограничения на ${\displaystyle G}$ для этих теорем связаны с показателем кручения группы ${\displaystyle G}$ и отдельных её образующих. Однако для циклических групп и групп без кручения существуют аналогичные теоремы, рассматривающие вместо подгрупп обобщённые арифметические прогрессии.

Основные свойства

${\displaystyle E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)}$

${\displaystyle E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2}}$, где ${\displaystyle A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace }$^[2]

Доказательство

Обозначим ${\displaystyle \lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace }$.

Тогда ${\displaystyle E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2}}}$ и, согласно неравенству Коши-Буняковского,

${\displaystyle E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}}$

Для кольца вычетов по простому модулю ${\displaystyle G={\mathbb {F} }_{p}}$ аддитивную энергию можно выразить через тригонометрические суммы. Обозначим ${\displaystyle e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}}$. Тогда

${\displaystyle E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}}$

Доказательство

Будем использовать нотацию Айверсона и индикаторное тождество.

${\displaystyle E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right)}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}}$

Заметим, что выражение через тригонометрические суммы справедливо только для аддитивной энергии, но не для мультипликативной, поскольку использует явно свойства сложения в ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}$.

Приложения

Аддитивная и мультипликативная энергии используются в аддитивной и арифметической комбинаторике для анализа комбинаторных сумм и произведений множеств ${\displaystyle A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace }$, в частности, для доказательства теоремы сумм-произведений.

Старшие энергии

Существуют два основных обобщения уравнения, определяющего аддитивную энергию - по количеству слагаемых и по количеству равенств:

${\displaystyle E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k}\$ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}}

${\displaystyle T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}\$ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rbrace }

Они называются старшими энергиями^[4] и иногда возможно получить оценки на них, не получая оценок на обычную аддитивную энергию.^[5][6] В то же время неравенство Гёльдера позволяет (со значительным ухудшением) оценивать обычную энергию через старшие.

Для параметра ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle E_{k}}$ иногда рассматриваются и вещественные, а не только целые числа (просто через подстановку в последнее выражение).^[7]

См. также

• Теорема сумм-произведений
• Структурная теорема Чанг

Литература

• Ю. Н. Штейников. Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и некоторые их приложения (рус.) // Математические заметки. — 2015. — Т. 98, вып. 4. — С. 606-625.

• И. Д. Шкредов. Несколько новых результатов о старших энергиях (англ.) // Труды Московского математического общества. — 2013. — Vol. 74, iss. 1. — P. 35-73.