Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Наименьшее общее кратное

наименьшее натуральное число, которое делится на целые числа без остатка Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Наиме́ньшее о́бщее кра́тное () двух целых чисел и есть наименьшее натуральное число, которое делится на и без остатка, то есть кратно им обоим. Обозначается одним из следующих способов:

  • ;
  • ;
  • или     (от англ. least common multiple).

Пример: .

Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Одно из наиболее частых применений — приведение дробей к общему знаменателю.

Remove ads

Свойства

  • Коммутативность: .
  • Ассоциативность: .
  • Связь с наибольшим общим делителем :
  • В частности, если и взаимно-простые числа, то
  • при
  • Наименьшее общее кратное двух целых чисел и является делителем всех других общих кратных и . Более того, множество общих кратных , совпадает с множеством кратных для .
  • Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции. Так:
    • функция Чебышёва
    • что следует из определения и свойств функции Ландау ;
    • что следует из закона распределения простых чисел.
Remove ads

Нахождение НОК

Суммиров вкратце
Перспектива

можно вычислить несколькими способами.

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с :

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел , причём из показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример для бо́льшего количества чисел:

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть также сведено к нескольким последовательным вычислениям от двух чисел:

Remove ads

См. также

Литература

  • Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.

Ссылки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads