Напряжённость гравитационного поля

Напряжённость гравитацио́нного по́ля — векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения ${\displaystyle {\vec {F}}}$, действующей на пробное тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела ${\displaystyle m_{G}}$:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{m_{G}}}.}$

Измеряется в ньютонах на килограмм, или, что то же самое, в м/с².

Свойства

Если источником гравитационного поля является некое гравитирующее тело, то согласно Закону всемирного тяготения:

${\displaystyle E={\frac {G{\frac {m_{G}M_{G}}{R^{2}}}}{m_{G}}}=G{\frac {M_{G}}{R^{2}}},}$

где ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная; ${\displaystyle M_{G}}$ — гравитационная масса тела-источника поля; ${\displaystyle R}$ — расстояние от исследуемой точки пространства до центра масс тела-источника поля.

Применяя Второй закон Ньютона и принцип эквивалентности гравитационной (${\displaystyle m_{G}}$) и инертной (${\displaystyle m_{I}}$) масс, имеем:

${\displaystyle {\begin{cases}m_{I}=m_{G}\\F=m_{I}g\\F=G{\frac {m_{G}M_{G}}{R^{2}}}\\{\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{m_{G}}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}g=G{\frac {M_{G}}{R^{2}}}\\E=G{\frac {M_{G}}{R^{2}}}\end{cases}}\Rightarrow E=g,}$

то есть напряжённость гравитационного поля численно (и по размерности) равна ускорению свободного падения в этом поле.

Напряжённость связана с потенциалом гравитационного поля как

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla \varphi ({\vec {r}})}$,

где ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла. Налицо математическая аналогия с электростатическими потенциалом и напряжённостью.

Расчёт

В случае создания гравитационного поля совокупностью точечных масс ${\displaystyle M_{Gi}}$ напряжённость рассчитывается как сумма

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-G\sum _{i}{M_{Gi}}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}|^{3}}}}$,

где через ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ обозначены радиус-векторы масс. Частным случаем является ситуация, когда масса одна, при этом сумма будет состоять из одного слагаемого.

Для непрерывного распределения массы с плотностью ${\displaystyle \rho }$ напряжённость вычисляется через интеграл

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-G\int \rho ({\vec {r}}'){\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} V'}$,

где ${\displaystyle {\vec {r}}'}$ — радиус-вектор бесконечно малого элемента объёма ${\displaystyle dV'}$; интегрирование выполняется по области пространства с ненулевой ${\displaystyle \rho }$.

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. I. Механика. — 576 с.

См. также

• Напряжённость электрического поля
• Напряжённость магнитного поля
• Гравитационный потенциал