Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра́л для функции ${\displaystyle f(x)}$ — это совокупность всех первообразных данной функции^[1].

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ определена и непрерывна на промежутке ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle F(x)}$ — её первообразная, то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ при ${\displaystyle a<x<b}$, то

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,}$ ${\displaystyle a<x<b}$,

где С — произвольная постоянная.

Основные свойства неопределённого интеграла приведены ниже.

${\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx}$

${\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C}$

${\displaystyle \int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx,a\neq 0}$

${\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx}$

Если ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$, то и ${\displaystyle \int f(u)du=F(u)+C}$, где ${\displaystyle u=\varphi (x)}$ — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Подведение под знак дифференциала

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

${\displaystyle du=d(u+C)}$

${\displaystyle du={1 \over a}d(au)}$

${\displaystyle f'(u)\cdot du=d(f(u))}$

Основные методы интегрирования

Основная статья: Методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

${\displaystyle \int g(x)dx=G(x)+C,}$

то

${\displaystyle \int g(u)du=G(u)+C,}$

где ${\displaystyle u=\varphi (x)}$ — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

${\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),}$

то

${\displaystyle \int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.}$

3. Метод подстановки. Если ${\displaystyle g(x)}$ — непрерывна, то, полагая

${\displaystyle x=\varphi (t),}$

где ${\displaystyle \varphi (t)}$ непрерывна вместе со своей производной ${\displaystyle \varphi '(t)}$, получим

${\displaystyle \int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.}$

4. Метод интегрирования по частям. Если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — некоторые дифференцируемые функции от ${\displaystyle x}$, то

${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.}$

Таблица основных неопределённых интегралов

${\displaystyle \int 0\cdot dx=C;}$

${\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;}$

${\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$ ${\displaystyle (n\neq -1);}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;}$

${\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;}$

${\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,}$ ${\displaystyle (a>0,a\neq 1);}$

${\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;}$

${\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}\quad (C_{2}={\frac {\pi }{2}}+C_{1});}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;}$

${\displaystyle \int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;}$

${\displaystyle \int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;}$

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа ${\displaystyle C}$ такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нём непрерывную первообразную.

См. также

• Первообразная
• Определённый интеграл
• Основная теорема анализа
• Знак интеграла
• Интегральное исчисление
• Численное интегрирование
• Методы интегрирования
• Список интегралов элементарных функций
• Таблица интегралов