Неравенство Швейцера

Неравенство Швейцера гласит следующее

Для любых вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, принадлежащих отрезку ${\displaystyle [m;M]\;}$, где ${\displaystyle M\geqslant m>0}$, имеет место неравенство ${\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2}.}$ Более того, если ${\displaystyle \;n}$ нечётно, то ${\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2}-{\frac {(m-M)^{2}}{4mM}}.}$

История

Это неравенство было опубликовано в 1914 г. в статье^[1] венгерского математика Пала Швейцера (Pál Schweitzer), которого в некоторых публикациях путают с другим венгерским математиком, Миклошом Швейцером, родившимся в 1923 году. Имеется английский перевод этой статьи в приложении к работе^[2]. Поскольку до появления английского перевода со статьёй Швейцера мало кто был знаком, неравенство (вторую его часть) обычно связывают^[3] с именем Александру Йоана Лупаша, который доказал^[4] это неравенство почти на 60 лет позже Швейцера.

Равносильные неравенства

• (В. Серпинский^[5]) Для любых положительных чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ верно

${\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2},}$

где через A и G обозначены соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$.

Следствия

• (О. Шиша^[6]) Для любых вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, принадлежащих отрезку ${\displaystyle [m;M]}$, где ${\displaystyle 0<m\leqslant M}$, верно неравенство:

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (M-m)^{2}.}$

• (Z.-C. Hao). Вещественные числа ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ принадлежат отрезку ${\displaystyle [m;M]}$, где ${\displaystyle 0<m\leqslant M}$. При условии ${\displaystyle 0<q\leqslant p<1}$ и ${\displaystyle p+q=1}$ имеет место неравенство:

${\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^{q}M^{q}}}.}$

Обобщения

• Неравенство Канторовича^[англ.]