Неравенство четырёхугольника

Неравенство четырёхугольника — неравенство, выполняющееся для любых четырёх точек метрического пространства, в котором справедливо неравенство треугольника. Его геометрический смысл заключается в том, что разность двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон^[1].

Формулировка

Обозначим ${\displaystyle \rho (x,y)}$ расстояние между точками метрического пространства ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Тогда для любых четырёх точек метрического пространства ${\displaystyle x,y,z,u}$ имеет место следующее неравенство: ${\displaystyle \left|\rho (x,z)-\rho (y,u)\right|\leqslant \rho (x,y)+\rho (z,u)}$.

Доказательство

Рассмотрим неравенства, следующие из неравенства треугольника:

${\displaystyle \rho (x,z)\leqslant \rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z)}$

${\displaystyle \rho (y,u)\leqslant \rho (y,x)+\rho (x,z)+\rho (z,u)}$

Вычтем из обеих частей первого неравенства ${\displaystyle \rho (y,u)}$ и из обеих частей второго неравенства ${\displaystyle \rho (x,z)}$.

Второе неравенство треугольника

При ${\displaystyle z=u}$ неравенство четырёхугольника обращается во второе неравенство треугольника: ${\displaystyle \left|\rho (x,z)-\rho (y,z)\right|\leqslant \rho (x,y)}$

Неравенства четырёхугольника в планиметрии

• Неравенство четырёхугольника — модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон: ${\displaystyle \left|a-b\right|\leq c+d}$.
• Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть: ${\displaystyle a\leq b+c+d}$; ${\displaystyle b\leq a+b+c}$; ${\displaystyle c\leq a+b+d}$; ${\displaystyle d\leq a+b+c}$.