Нульмерное пространство

Нульме́рное простра́нство — топологическое пространство, размерность которого равна нулю согласно одному из нескольких неэквивалентных определений размерности топологического пространства^[1][2]. Графической иллюстрацией нульмерного пространства может служить произвольная точка некоторого пространства^[3].

Определение

Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется нульмерным, если оно нульмерно относительно топологической размерности или большой или малой индуктивной размерности, в формулах:

• ${\displaystyle \mathrm {dim} (X)=0}$ (топологическая размерность)
• ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)=0}$ (большая индуктивная размерность)
• ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)=0}$ (малая индуктивная размерность)

Или, если точнее:

• Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ является нульмерным относительно топологической размерности, если для любого открытого покрытия ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle X}$ существует открытое покрытие ${\displaystyle U}$ того же пространства, такое что оно вписано в ${\displaystyle V}$ и любая точка множества ${\displaystyle X}$ содержится ровно в одном открытом множестве из покрытия ${\displaystyle U}$.
• Топологическое пространство является нульмерным относительно индуктивной размерности, если оно имеет базу состоящую из открыто-замкнутых множеств.