Обобщённое распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе

Обобщенное распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе распространяет понятие классического распределения Пуассона на прямой на локально компактные абелевы группы.

Пусть ${\displaystyle X}$ — локально компактная абелева группа, ${\displaystyle Y}$ ее группа характеров, ${\displaystyle (x,y)}$ — значение характера ${\displaystyle y\in Y}$ на элементе ${\displaystyle x\in X}$. Пусть ${\displaystyle F}$ — конечная неотрицательная мера на ${\displaystyle X}$. Обобщенным распределением Пуассона, ассоциированным с мерой ${\displaystyle F}$, называется сдвиг распределения ${\displaystyle e(F)}$ вида

${\displaystyle e(F)=\exp\{-F(X)\}\left(E_{0}+F+{F^{*}2 \over 2!}+\dots +{F^{*}n \over n!}+\dots \right)}$,

где ${\displaystyle E_{0}}$ − вырожденное распределение, сосредоточенное в нуле группы ${\displaystyle X}$.

Распределение ${\displaystyle e(F)}$ — бесконечно делимо. Характеристическая функция распределения ${\displaystyle e(F)}$ имеет вид

${\displaystyle {\widehat {e(F)}}(y)=\exp \left\{\int _{X}[(x,y)-1]dF(x)\right\}}$.

Литература

• Parthasarathy K.R., Ranga Rao R., Varadhan S. R. S. Probability distributions on locally compact abelian groups // Illinois J. Math. -  1963. — 7. — P. 337—369.
• Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Probab. Math. Statist. — 3. -  New York — London: Academic Press, 1967.
• Feldman G.M. Arithmetic of probability distributions and characterization problems on Abelian groups. Transl. Math. Monographs. — 116. - Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993.