Обобщённое число такси

Обобщённое число такси (ОЧТ), обозначаемое Taxicab(k, j, n) это наименьшее число, которое может быть представлено n различными суммами j натуральных чисел в положительной степени k. Taxicab(3, 2, n) совпадает с числом такси.

Леонард Эйлер доказал, что ${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (4,2,2)=635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4},}$ но Taxicab(4, 2, 3) неизвестно.

Неизвестно ни одного натурального числа, которое может быть представлено суммой двух и более пятых степеней по крайней мере двумя способами, а значит неизвестны Taxicab(5, 2, n) для всех n ≥ 2 .^[1]

Тривиальные последовательности ОЧТ

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (k,j,1)=j}$

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (1,2,n)=2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=\cdots =n+n}$

Некоторые нетривиальные разложения и ОЧТ

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (3,2,2)=1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}}$ — число, которое связывают с именем Рамануджана, хотя впервые оно было опубликовано Бернаром Френиклем де Бесси в 1657 году.^[2].

${\displaystyle \operatorname {Taxicab} (5,3,2)=1\ 375\ 298\ 099=62^{5}+54^{5}+3^{5}=67^{5}+28^{5}+24^{5}\,\!}$

k	j	Taxicab(k, j,2)	Taxicab(k, j,3)	Taxicab(k, j,4)	OEIS
2	2	50	325	1105	A016032
2	3	27	54	129	A025414
2	4	31	28	52	A025416
3	2	1729	87539319	6963472309248	A011541
3	3	251	5104	13896	A025418
3	4	219	1225	1979	A025420
4	2	635318657			A230562
4	3	2673

Родственные задачи

Поиск ОЧТ сводится к поиску «минимального» решения системы диофантовых уравнений для сумм степеней в множестве натуральных чисел. Подобные решения ищутся также в множестве целых чисел и для разностей степеней. Например, известно, что

${\displaystyle 25900232113758000049920=401168^{4}-17228^{4}=415137^{4}-248289^{4}=421296^{4}-273588^{4}}$^[3]