Обратимая функция

Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

График линейной функции, которая является обратимой.

График квадратичной функции, которая не является обратимой.

Определение

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ такова, что для любого её значения ${\displaystyle y_{0}}$ уравнение ${\displaystyle f(x)=y_{0}}$ имеет относительно ${\displaystyle x}$ единственный корень, то говорят, что функция ${\displaystyle f}$ обратима.

Свойства

1. Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ определена и возрастает (или убывает) на промежутке ${\displaystyle X}$ и областью её значений является промежуток ${\displaystyle Y}$, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на ${\displaystyle X}$.^[1]
2. Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение ${\displaystyle f(x)=y}$ относительно ${\displaystyle x}$, а потом поменять местами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.
3. Если уравнение ${\displaystyle f(x)=y}$ имеет более одного корня, то функции, обратной функции ${\displaystyle y=f(x)}$, не существует.
4. Графики обратных функций симметричны относительно прямой ${\displaystyle y=x}$.
5. Если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ – функции, обратные друг другу, то ${\displaystyle E(f)=D(g)}$, ${\displaystyle D(f)=E(g)}$, где ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E}$ – области определения и значений соответственно.
6. Обратная функция может существовать только для обратимой функции.

Примеры

• Функция ${\displaystyle y=x^{2}}$ не является обратимой на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, но обратима при ${\displaystyle x\geqslant 0}$ или ${\displaystyle x\leqslant 0}$ .
• Функция ${\displaystyle \sin x}$ не является обратимой на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.