Геодезические задачи

Геодезическая задача — математическая задача, связанная с определением взаимного положения точек (координат) принадлежащих какой-либо поверхности. Геодезические задачи подразделяются на прямую, обратную и задачу Потенота.^[1]

Прямая геодезическая задача (ПГЗ)

Прямая геодезическая задача (прямая линейно-угловая засечка) заключается в том, что по известным координатам одной точки, вычисляют координаты другой точки, для чего необходимо знать горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками и ориентирный (дирекционный) угол этой линии.

Решение прямой геодезической задачи выполняется по формулам:^[2]

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}X_{2}=X_{1}+\Delta X\\Y_{2}=Y_{1}+\Delta Y\end{matrix}}\right.}$

Далее определяются приращениями координат из решения прямоугольных треугольников.

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\Delta X=S*{\operatorname {cos} \alpha }\\\Delta Y=S*{\operatorname {sin} \alpha }\end{matrix}}\right.}$

Обратная геодезическая задача (ОГЗ)

Обратная геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам двух точек вычисляют горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками и дирекционный угол этой линии.

Дирекционный угол направления на ориентир может быть вычислен путём решения обратной геодезической задачи если известны плоские прямоугольные координаты исходной точки и ориентира.

Решение обратной геодезической задачи выполняется в следующем порядке:

1) вычисляют приращения координат:

${\displaystyle \Delta X=X_{2}-X_{1}.}$

${\displaystyle \Delta Y=Y_{2}-Y_{1}.}$

2) из решения прямоугольного треугольника определяют румб линии:

${\displaystyle \mathrm {tg} r={\frac {\Delta Y}{\Delta X}}}$.

откуда

${\displaystyle r=\operatorname {arctg} {\frac {\pm \Delta Y}{\pm \Delta X}}}$

3) по знакам приращений координат и по известному румбу линии определяют дирекционный угол линии

№	Четверть (направление)	связь румба и дирекционного угла	Знак приращения ${\displaystyle \Delta X}$	Знак приращения ${\displaystyle \Delta Y}$
1	северо-восток	${\displaystyle \alpha =r}$	+	+
2	юго-восток	${\displaystyle \alpha =180-r}$	-	+
3	юго-запад	${\displaystyle \alpha =180+r}$	-	-
4	северо-запад	${\displaystyle \alpha =360-r}$	+	-

4) определяют горизонтальное проложение (длину линии)

${\displaystyle S={\frac {\Delta X}{\operatorname {cos} \alpha }}}$

${\displaystyle S={\frac {\Delta Y}{\operatorname {sin} \alpha }}}$

${\displaystyle S={\sqrt {\Delta X^{2}+\Delta Y^{2}}}}$.^[3]

Задача Потенота

Основная статья: Задача Потенота

Задача Потенота (обратная геодезическая засечка) — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем более общей задачи трилатерации. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня^[4]) и не потеряла актуальности по настоящее время.