Окружность Аполлония

Запрос «Окружности Аполлония» перенаправляется сюда; о фрактальной системе касающихся окружностей см. Сетка Аполлония.

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

${\displaystyle d_{1}/d_{2}}$ не зависит от ${\displaystyle P}$.

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Определение

Пусть на плоскости даны две точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Рассмотрим все точки ${\displaystyle P}$ этой плоскости, для каждой из которых отношение

${\displaystyle k={\frac {PA}{PB}}}$

есть фиксированное положительное число. При ${\displaystyle k=1}$ эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку ${\displaystyle AB}$; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Замечания

• Точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются фокусами окружности Аполлония.

Свойства

• Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.}$
• Отрезок ${\displaystyle PC}$ между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой ${\displaystyle AB}$ является биссектрисой самого угла ${\displaystyle \angle APB}$ или угла, смежного с ним.
• Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ местами.
• Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствах

• Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.^[1]
• Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.^[2]
• Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.

Приложения

• Часто используется в анализе построений с помощью циркуля и линейки. В частности одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполлония.

• Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.

См. также

• Эллиптические координаты

• Похоже определяемые кривые
  • Гипербола — кривая постоянной разности расстояний между фокусами;
  • Эллипс — кривая постоянной суммы расстояний между фокусами;
  • овал Кассини — кривая постоянного произведения расстояний между фокусами.