Октаэдральное число

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел^[1]:

${\displaystyle O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)}}$

146 магнитных шариков, образующие октаэдр

Общая формула^[2] для ${\displaystyle n}$-го по порядку октаэдрального числа ${\displaystyle O_{n}}$:

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}}$

Первые из октаэдральных чисел (последовательность A005900 в OEIS):

${\displaystyle 1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\dots }$

Рекуррентная формула^[1]:

${\displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1}$

Производящая функция последовательности^[1]:

${\displaystyle {\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^{n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots$ ;\quad |x|<1}

Связь с фигурными числами других типов

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$:

${\displaystyle O_{n}+4\mathbb {T} _{n-1}=\mathbb {T} _{2n-1}}$

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи^[1]:

${\displaystyle O_{n}=\mathbb {T} _{n}+2\mathbb {T} _{n-1}+\mathbb {T} _{n-2}}$

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами:

${\displaystyle O_{n}+2\mathbb {T} _{n-1}=n^{3}}$

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число^[1]:

${\displaystyle O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2}}$

Гипотеза Поллока

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение^[3], что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

• 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
• 11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых;
• 65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых^[4][5].

Применение

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»)^[6][7].