Олимпиадные математические задачи

Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых нет готовых (и ранее изученных) алгоритмов и часто требуется оригинальный, нешаблонный подход.

Описание

Олимпиадные задачи получили своё название от математических олимпиад — популярных соревнований школьников и студентов. Олимпиадные задачи отличает нестандартность решений и отсутствие готового шаблона. Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление, умение подойти к проблеме с разных сторон. Не случайно академик А. Н. Колмогоров в своей речи на открытии сравнил работу математика с «чередой решения (порою больших и трудных) олимпиадных задач».^[1]

Внешняя простота олимпиадных задач — их формулировки и решения должны быть понятны любому школьнику — зачастую обманчива. Лучшие олимпиадные задачи затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. Иногда этой кажущейся простотой пользовались не по назначению: во времена СССР на приёмных экзаменах в ВУЗы с помощью таких задач отсеивали абитуриентов нежелательных национальностей. Неудивительно, что олимпиадные задачи из арсенала таких приёмных комиссий стали называть «гробами».^[2]

Победители и призёры математических олимпиад имеют льготы при поступлении во многие ВУЗы^[3].

Решение олимпиадных задач может потребовать существенного количества времени даже от сильного (но ненатренированного на их решение) профессионального математика.^[4]

Олимпиадные задачи можно найти в Интернете,^[5] в периодических изданиях (журналы Квант, Квантик, Математическое просвещение), а также в виде отдельных сборников. Они широко используются в работе математических кружков, заочных школ^[6] и для таких математических соревнований как олимпиады, турниры городов и математические бои.

Большой вклад в популяризацию методов решения олимпиадных задач внесли публикации журнала «Квант», книги серий «Популярные лекции по математике», «Библиотека математического кружка»^[7], сборники олимпиадных задач, выпускавшиеся издательствами «Наука», «Просвещение», переводные — издательством «Мир»^[8], и другие книги, а также многочисленные веб-сайты, посвящённые олимпиадным задачам.

Примеры

Задача олимпиадного типа, известная со времён Евклида:

Доказать, что существует бесконечно много простых чисел.

Задача решается методом от противного. Предположив, что простых чисел конечное число N, рассматриваем число, следующее за их произведением ${\displaystyle (\prod _{i=1}^{N}{p_{i}})+1}$. Очевидно, что оно не делится ни на одно из использованных в произведении простых чисел, давая в остатке 1. Значит, либо оно само простое, либо оно делится на простое число, не учтённое в нашем (предположительно полном) списке. В любом случае, простых чисел, по крайней мере, N+1. Противоречие с предположением о конечности. Q.E.D.

Ещё пример:

А сколько существует натуральных чисел, у которых наибольший собственный делитель равен кубу однозначного простого числа?

Тематика задач

Несмотря на уникальность отдельных олимпиадных задач, их полезно разделять по тематике. Разумеется, по определению, любой список тем будет неполным. В качестве "верхнего уровня" тематики можно использовать классификатор сайта ЗАДАЧИ:^[5]

• Алгебра и арифметика
• Логика и теория множеств
• Комбинаторика
• Геометрия
• Вероятность и статистика
• Математический анализ
• Информатика

Кроме деления по темам, для решения олимпиадных задач существует деление по методам решения.

Методы, идеи, приёмы решения задач

Не существует единого универсального метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество идей и приёмов постоянно растёт. Часто задачи можно решить разными методами или комбинацией методов. Иногда решение с виду несложной задачи может потребовать использования методов, характерных для серьёзных математических исследований. Ряд методов используются только для задач определенной тематики, но есть и "междисциплинарные".

Ниже приводится (по определению) неполный список методов, приёмов и идей, полезных при решении олимпиадных задач:

• Доказательство от противного
• Принцип Дирихле
• Замена алгебраической задачи геометрической или физической, <<выход в пространство>> для планиметрической задачи и т.п.
• Правило крайнего
• Решение задачи с конца
• Отыскание и конструирование контрпримеров
• Метод математической индукции
• Рекурсия
• Метод производящих функций
• Метод итераций
• Идея инварианта и полуинварианта
• Идея биекции между объектами
• Двойной подсчёт
• Поиск ранее решенных аналогичных задач
• Метод обобщений
• Вспомогательное построение
• Прыжки Виета
• Передача хода

См. также

• Турнир городов
• Всесоюзная олимпиада школьников по математике
• Международная математическая олимпиада