Оператор Дирака

Оператор Дирака — общее название дифференциальных операторов, которые являются квадратными корнями некоторого оператора второго порядка, чаще всего оператора Лапласа и его аналогов.

То есть оператор ${\displaystyle D}$ является оператором Дирака для данного оператора второго порядка ${\displaystyle \Delta }$, если

${\displaystyle D^{2}=\Delta .}$

В физике высоких энергий это требование часто ослабляется: предполагается только, что главная часть ${\displaystyle D^{2}}$ совпадает с ${\displaystyle \Delta }$.

Примеры

• ${\displaystyle D=-i\cdot \partial _{x}}$ является оператором Дирака на касательном расслоении над прямой.
• Для дифференциальных форм на римановом многообразии оператор Дирака можно определить как

${\displaystyle D=\sum _{i}e_{i}\bullet \nabla _{e_{i}},}$

где ${\displaystyle e_{i}}$ — ортонормированный репер в точке, ${\displaystyle \nabla }$ — связность, а ${\displaystyle \bullet }$ — умножение Клиффорда. Его квадрат

${\displaystyle D^{2}=\sum _{i,j}e_{i}\bullet e_{j}\bullet \nabla _{e_{i},e_{j}}^{2}}$

называется лапласианом Дирака; для функций он совпадает с оператором Лапласа — Бельтрами, но он также определён на формах всех степеней.

Литература

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.