Оператор координаты

Оператор координаты — квантово-механический оператор, наряду с оператором импульса, использующийся для описания поведения системы. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов.

В координатном представлении оператор ${\displaystyle {\hat {X}}}$ — сама координата ${\displaystyle x}$; в импульсном представлении оператор координаты выражается через производную по импульсу:

${\displaystyle {\hat {X}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}}$.

Оператор координаты не коммутирует с оператором импульса, то есть:

${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]\not \equiv 0}$

Таким образом, для пары наблюдаемых величин ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle p}$ выполняется соотношение неопределённостей Гейзенберга:

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$,

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Согласно каноническому коммутационному соотношению:

${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P_{x}}}]=i\hbar }$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {P_{y}}}]=i\hbar }$

${\displaystyle [{\hat {Z}},{\hat {P_{z}}}]=i\hbar }$

и все остальные коммутаторы между ${\displaystyle {\hat {X}},{\hat {Y}},{\hat {Z}},{\hat {P_{x}}},{\hat {P_{y}}},{\hat {P_{z}}}}$ равны 0.

Среднее значение координаты для состояния с волновой функцией ${\displaystyle \psi }$ определяется как:

${\displaystyle \langle x\rangle =({\hat {X}}\psi ,\psi *)=\langle \psi \vert {\hat {X}}\vert \psi \rangle =\int \limits _{V}{x\psi ^{\ast }\psi }dV}$

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.